Серединный перпендикуляр и биссектриса: радиус вписанной — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 6 и сторона AC = 39.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 6 и сторона AC = 39.
Показать ответ
б) 13√11/5
Решение
Из KA = KB следует ∠KAB = ∠B, а так как AK — биссектриса, ∠KAC = ∠B. Треугольники ACK и BCA подобны по двум углам, откуда AC2 = BC·CK. Далее ∠BAC = 2∠B, ∠ACB = 180° − 3∠B, и радиус вписанной в AKC окружности равен 13√11/5.
Пример 2
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 45 и сторона AC = 48.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 45 и сторона AC = 48.
Показать ответ
б) 32/5
Решение
Из KA = KB следует ∠KAB = ∠B, а так как AK — биссектриса, ∠KAC = ∠B. Треугольники ACK и BCA подобны по двум углам, откуда AC2 = BC·CK. Далее ∠BAC = 2∠B, ∠ACB = 180° − 3∠B, и радиус вписанной в AKC окружности равен 32/5.
Пример 3
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 6 и сторона AC = 45.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 6 и сторона AC = 45.
Показать ответ
б) 3√11
Решение
Из KA = KB следует ∠KAB = ∠B, а так как AK — биссектриса, ∠KAC = ∠B. Треугольники ACK и BCA подобны по двум углам, откуда AC2 = BC·CK. Далее ∠BAC = 2∠B, ∠ACB = 180° − 3∠B, и радиус вписанной в AKC окружности равен 3√11.
Пример 4
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 817 и сторона AC = 45.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 817 и сторона AC = 45.
Показать ответ
б) 156/17
Решение
Из KA = KB следует ∠KAB = ∠B, а так как AK — биссектриса, ∠KAC = ∠B. Треугольники ACK и BCA подобны по двум углам, откуда AC2 = BC·CK. Далее ∠BAC = 2∠B, ∠ACB = 180° − 3∠B, и радиус вписанной в AKC окружности равен 156/17.
Пример 5
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 45 и сторона AC = 27.
а) Докажите, что AC2 = BC · CK.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если sin B = 45 и сторона AC = 27.
Показать ответ
б) 18/5
Решение
Из KA = KB следует ∠KAB = ∠B, а так как AK — биссектриса, ∠KAC = ∠B. Треугольники ACK и BCA подобны по двум углам, откуда AC2 = BC·CK. Далее ∠BAC = 2∠B, ∠ACB = 180° − 3∠B, и радиус вписанной в AKC окружности равен 18/5.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.