Середины катетов и высота: площадь PQM — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 20 и BH = 12.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 20 и BH = 12.
Показать ответ
б) 320√15
Решение
MH и NH — медианы прямоугольных треугольников AHC и BHC, проведённые к гипотенузам, поэтому MH = MC и NH = NC; отсюда ∠MHN = ∠MCN = 90°. Высота CH = √(AH·BH) = 4√15, и прямой подсчёт даёт S(PQM) = 320√15.
Пример 2
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 24 и BH = 16.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 24 и BH = 16.
Показать ответ
б) 1200√6
Решение
MH и NH — медианы прямоугольных треугольников AHC и BHC, проведённые к гипотенузам, поэтому MH = MC и NH = NC; отсюда ∠MHN = ∠MCN = 90°. Высота CH = √(AH·BH) = 8√6, и прямой подсчёт даёт S(PQM) = 1200√6.
Пример 3
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 22 и BH = 2.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 22 и BH = 2.
Показать ответ
б) 396√11/25
Решение
MH и NH — медианы прямоугольных треугольников AHC и BHC, проведённые к гипотенузам, поэтому MH = MC и NH = NC; отсюда ∠MHN = ∠MCN = 90°. Высота CH = √(AH·BH) = 2√11, и прямой подсчёт даёт S(PQM) = 396√11/25.
Пример 4
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 2 и BH = 10.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 2 и BH = 10.
Показать ответ
б) 9√5/4
Решение
MH и NH — медианы прямоугольных треугольников AHC и BHC, проведённые к гипотенузам, поэтому MH = MC и NH = NC; отсюда ∠MHN = ∠MCN = 90°. Высота CH = √(AH·BH) = 2√5, и прямой подсчёт даёт S(PQM) = 9√5/4.
Пример 5
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C точки M и N — середины катетов AC и BC соответственно, CH — высота.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 16 и BH = 8.
а) Докажите, что прямые MH и NH перпендикулярны.
б) Пусть P — точка пересечения прямых AC и NH, а Q — точка пересечения прямых BC и MH. Найдите площадь треугольника PQM, если AH = 16 и BH = 8.
Показать ответ
б) 288√2
Решение
MH и NH — медианы прямоугольных треугольников AHC и BHC, проведённые к гипотенузам, поэтому MH = MC и NH = NC; отсюда ∠MHN = ∠MCN = 90°. Высота CH = √(AH·BH) = 8√2, и прямой подсчёт даёт S(PQM) = 288√2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.