Симметрия относительно CO: площадь ABOB₁ — задание 18 ЕГЭ по профильной математике с ответами

Пример 1

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB = 12, AC = 12 и BC = 6.

Показать ответ

б) 27√15/5

Решение

Симметрия относительно биссектрисы CO переводит луч CB в луч CA, поэтому B₁ лежит на CA и CB₁ = CB = 6. Тогда ∠OB₁A = ∠OBA (симметрия и равенство углов при биссектрисе из B), значит A, B, O, B₁ концикличны. Площадь четырёхугольника равна 27√15/5.

Пример 2

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB = 16, AC = 20 и BC = 16.

Показать ответ

б) 100√39/13

Решение

Симметрия относительно биссектрисы CO переводит луч CB в луч CA, поэтому B₁ лежит на CA и CB₁ = CB = 16. Тогда ∠OB₁A = ∠OBA (симметрия и равенство углов при биссектрисе из B), значит A, B, O, B₁ концикличны. Площадь четырёхугольника равна 100√39/13.

Пример 3

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB = 14, AC = 20 и BC = 14.

Показать ответ

б) 50√6/3

Решение

Симметрия относительно биссектрисы CO переводит луч CB в луч CA, поэтому B₁ лежит на CA и CB₁ = CB = 14. Тогда ∠OB₁A = ∠OBA (симметрия и равенство углов при биссектрисе из B), значит A, B, O, B₁ концикличны. Площадь четырёхугольника равна 50√6/3.

Пример 4

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB = 7, AC = 19 и BC = 18.

Показать ответ

б) 12√110/11

Решение

Симметрия относительно биссектрисы CO переводит луч CB в луч CA, поэтому B₁ лежит на CA и CB₁ = CB = 18. Тогда ∠OB₁A = ∠OBA (симметрия и равенство углов при биссектрисе из B), значит A, B, O, B₁ концикличны. Площадь четырёхугольника равна 12√110/11.

Пример 5

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB = 19, AC = 18 и BC = 5.

Показать ответ

б) 64√14/7

Решение

Симметрия относительно биссектрисы CO переводит луч CB в луч CA, поэтому B₁ лежит на CA и CB₁ = CB = 5. Тогда ∠OB₁A = ∠OBA (симметрия и равенство углов при биссектрисе из B), значит A, B, O, B₁ концикличны. Площадь четырёхугольника равна 64√14/7.

Другие темы задания №18

1Сумма оснований и диагонали: высота 2Углы ABD и ACD прямые: найти AD 3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD 4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали 5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD 6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD 7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD 8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу 9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE 10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB 11Прямоугольная описанная трапеция: площадь 12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD

Симметрия относительно CO: площадь ABOB₁ — задание 18 ЕГЭ по профильной математике

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Другие темы задания №18

Нужен репетитор по математике?

Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore