Средние линии четырёхугольника: отношение BC к AD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 13 : 15.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
Показать ответ
б) 3:4
Решение
Отрезок NL делит четырёхугольник на две равновеликие части только когда BC ∥ AD. Тогда KM — средняя линия трапеции, и части относятся как (3·BC + AD) : (BC + 3·AD) = 13 : 15, откуда BC : AD = 3:4.
Пример 2
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 23 : 29.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
Показать ответ
б) 5:8
Решение
Отрезок NL делит четырёхугольник на две равновеликие части только когда BC ∥ AD. Тогда KM — средняя линия трапеции, и части относятся как (3·BC + AD) : (BC + 3·AD) = 23 : 29, откуда BC : AD = 5:8.
Пример 3
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 2 : 3.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
Показать ответ
б) 3:7
Решение
Отрезок NL делит четырёхугольник на две равновеликие части только когда BC ∥ AD. Тогда KM — средняя линия трапеции, и части относятся как (3·BC + AD) : (BC + 3·AD) = 2 : 3, откуда BC : AD = 3:7.
Пример 4
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 15 : 29.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
Показать ответ
б) 2:9
Решение
Отрезок NL делит четырёхугольник на две равновеликие части только когда BC ∥ AD. Тогда KM — средняя линия трапеции, и части относятся как (3·BC + AD) : (BC + 3·AD) = 15 : 29, откуда BC : AD = 2:9.
Пример 5
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 7 : 13.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
Показать ответ
б) 1:4
Решение
Отрезок NL делит четырёхугольник на две равновеликие части только когда BC ∥ AD. Тогда KM — средняя линия трапеции, и части относятся как (3·BC + AD) : (BC + 3·AD) = 7 : 13, откуда BC : AD = 1:4.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.