Средняя линия и вписанная окружность: отношение отрезков — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC известно, что AC = 10 и AB = BC = 14.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Показать ответ
б) 1 : 3 : 1
Решение
Средняя линия удалена от AC на половину высоты, а центр вписанной окружности — на радиус r; сравнение показывает, что прямая пересекает окружность. По симметрии крайние отрезки равны, и средняя линия делится в отношении 1 : 3 : 1.
Пример 2
В треугольнике ABC известно, что AC = 10 и AB = BC = 7.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Показать ответ
б) 1 : 8 : 1
Решение
Средняя линия удалена от AC на половину высоты, а центр вписанной окружности — на радиус r; сравнение показывает, что прямая пересекает окружность. По симметрии крайние отрезки равны, и средняя линия делится в отношении 1 : 8 : 1.
Пример 3
В треугольнике ABC известно, что AC = 10 и AB = BC = 6.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Показать ответ
б) 1 : 3 : 1
Решение
Средняя линия удалена от AC на половину высоты, а центр вписанной окружности — на радиус r; сравнение показывает, что прямая пересекает окружность. По симметрии крайние отрезки равны, и средняя линия делится в отношении 1 : 3 : 1.
Пример 4
В треугольнике ABC известно, что AC = 26 и AB = BC = 14.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Показать ответ
б) 4 : 5 : 4
Решение
Средняя линия удалена от AC на половину высоты, а центр вписанной окружности — на радиус r; сравнение показывает, что прямая пересекает окружность. По симметрии крайние отрезки равны, и средняя линия делится в отношении 4 : 5 : 4.
Пример 5
В треугольнике ABC известно, что AC = 26 и AB = BC = 38.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, пересекает окружность, вписанную в треугольник ABC.
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне AC.
Показать ответ
б) 4 : 5 : 4
Решение
Средняя линия удалена от AC на половину высоты, а центр вписанной окружности — на радиус r; сравнение показывает, что прямая пересекает окружность. По симметрии крайние отрезки равны, и средняя линия делится в отношении 4 : 5 : 4.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.