То же в долях радиуса: расстояние между центрами — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 3R и CM = 2R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 7.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 7.
Показать ответ
б) 7√5/2
Решение
Из tg(∠A/2) = R/AM и tg(∠C/2) = R/CM условие ∠A + ∠C = 90° равносильно AM·CM = R2 + R·AC, то есть (3 − 1)(2 − 1) = 2 — здесь это выполнено, значит ∠B = 90°. Тогда R(опис.) = AC/2 = 35/2, и по формуле Эйлера расстояние равно 7√5/2.
Пример 2
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 9R и CM = 1,25R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 6.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 6.
Показать ответ
б) 15√41/4
Решение
Из tg(∠A/2) = R/AM и tg(∠C/2) = R/CM условие ∠A + ∠C = 90° равносильно AM·CM = R2 + R·AC, то есть (9 − 1)(1,25 − 1) = 2 — здесь это выполнено, значит ∠B = 90°. Тогда R(опис.) = AC/2 = 123/4, и по формуле Эйлера расстояние равно 15√41/4.
Пример 3
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 5R и CM = 1,5R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 1.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 1.
Показать ответ
б) √65/4
Решение
Из tg(∠A/2) = R/AM и tg(∠C/2) = R/CM условие ∠A + ∠C = 90° равносильно AM·CM = R2 + R·AC, то есть (5 − 1)(1,5 − 1) = 2 — здесь это выполнено, значит ∠B = 90°. Тогда R(опис.) = AC/2 = 13/4, и по формуле Эйлера расстояние равно √65/4.
Пример 4
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 2R и CM = 3R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 8.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 8.
Показать ответ
б) 4√5
Решение
Из tg(∠A/2) = R/AM и tg(∠C/2) = R/CM условие ∠A + ∠C = 90° равносильно AM·CM = R2 + R·AC, то есть (2 − 1)(3 − 1) = 2 — здесь это выполнено, значит ∠B = 90°. Тогда R(опис.) = AC/2 = 20, и по формуле Эйлера расстояние равно 4√5.
Пример 5
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 3R и CM = 2R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 8.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R = 8.
Показать ответ
б) 4√5
Решение
Из tg(∠A/2) = R/AM и tg(∠C/2) = R/CM условие ∠A + ∠C = 90° равносильно AM·CM = R2 + R·AC, то есть (3 − 1)(2 − 1) = 2 — здесь это выполнено, значит ∠B = 90°. Тогда R(опис.) = AC/2 = 20, и по формуле Эйлера расстояние равно 4√5.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.