Точка касания на AC: найти sin∠BMC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Показать ответ
б) 121/140
Решение
Отношение BM : r достигает наибольшего значения 3 в равностороннем треугольнике, поэтому BM ≤ 3r. По заданному отношению BM : r = 2,8 однозначно восстанавливается форма треугольника (два симметричных случая дают дополнительные углы, а их синусы равны), и sin∠BMC = 121/140.
Пример 2
В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,75 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,75 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Показать ответ
б) 73/88
Решение
Отношение BM : r достигает наибольшего значения 3 в равностороннем треугольнике, поэтому BM ≤ 3r. По заданному отношению BM : r = 2,75 однозначно восстанавливается форма треугольника (два симметричных случая дают дополнительные углы, а их синусы равны), и sin∠BMC = 73/88.
Пример 3
В треугольнике ABC угол ABC равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,7 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите sin∠BMC, если известно, что отрезок BM в 2,7 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.
Показать ответ
б) 143/180
Решение
Отношение BM : r достигает наибольшего значения 3 в равностороннем треугольнике, поэтому BM ≤ 3r. По заданному отношению BM : r = 2,7 однозначно восстанавливается форма треугольника (два симметричных случая дают дополнительные углы, а их синусы равны), и sin∠BMC = 143/180.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.