Точки касания задают прямой угол: расстояние между центрами — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 6, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 10 и CM = 24.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Показать ответ
б) √85
Решение
Так как tg(∠A/2) = 6/10 и tg(∠C/2) = 6/24, то tg(∠A/2 + ∠C/2) = 1, то есть ∠A + ∠C = 90° и ∠B = 90°. Тогда AC = 34 — диаметр описанной окружности, R = 17, и по формуле Эйлера OI = √(R2 − 2Rr) = √85.
Пример 2
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 8, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 24 и CM = 16.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Показать ответ
б) 4√5
Решение
Так как tg(∠A/2) = 8/24 и tg(∠C/2) = 8/16, то tg(∠A/2 + ∠C/2) = 1, то есть ∠A + ∠C = 90° и ∠B = 90°. Тогда AC = 40 — диаметр описанной окружности, R = 20, и по формуле Эйлера OI = √(R2 − 2Rr) = 4√5.
Пример 3
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 3, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 6 и CM = 9.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Показать ответ
б) 3√5/2
Решение
Так как tg(∠A/2) = 3/6 и tg(∠C/2) = 3/9, то tg(∠A/2 + ∠C/2) = 1, то есть ∠A + ∠C = 90° и ∠B = 90°. Тогда AC = 15 — диаметр описанной окружности, R = 7.5, и по формуле Эйлера OI = √(R2 − 2Rr) = 3√5/2.
Пример 4
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 8, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 12 и CM = 40.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Показать ответ
б) 2√65
Решение
Так как tg(∠A/2) = 8/12 и tg(∠C/2) = 8/40, то tg(∠A/2 + ∠C/2) = 1, то есть ∠A + ∠C = 90° и ∠B = 90°. Тогда AC = 52 — диаметр описанной окружности, R = 26, и по формуле Эйлера OI = √(R2 − 2Rr) = 2√65.
Пример 5
В треугольник ABC вписана окружность радиуса 12, касающаяся стороны AC в точке M, причём AM = 24 и CM = 36.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Показать ответ
б) 6√5
Решение
Так как tg(∠A/2) = 12/24 и tg(∠C/2) = 12/36, то tg(∠A/2 + ∠C/2) = 1, то есть ∠A + ∠C = 90° и ∠B = 90°. Тогда AC = 60 — диаметр описанной окружности, R = 30, и по формуле Эйлера OI = √(R2 − 2Rr) = 6√5.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.