Тупой угол 120°: найти BH — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 39, BC = 16.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 39, BC = 16.
Показать ответ
б) 49√3/3
Решение
Четырёхугольник с вершинами в основаниях высот даёт ∠AHC = 180° − ∠ABC, поэтому ∠ABC = 120°. По теореме косинусов AC = 49, радиус описанной окружности R = AC/(2 sin 120°), а BH = 2R·|cos∠B| = AC/√3 = 49√3/3.
Пример 2
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 40, BC = 35.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 40, BC = 35.
Показать ответ
б) 65√3/3
Решение
Четырёхугольник с вершинами в основаниях высот даёт ∠AHC = 180° − ∠ABC, поэтому ∠ABC = 120°. По теореме косинусов AC = 65, радиус описанной окружности R = AC/(2 sin 120°), а BH = 2R·|cos∠B| = AC/√3 = 65√3/3.
Пример 3
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 35, BC = 13.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 35, BC = 13.
Показать ответ
б) 43√3/3
Решение
Четырёхугольник с вершинами в основаниях высот даёт ∠AHC = 180° − ∠ABC, поэтому ∠ABC = 120°. По теореме косинусов AC = 43, радиус описанной окружности R = AC/(2 sin 120°), а BH = 2R·|cos∠B| = AC/√3 = 43√3/3.
Пример 4
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 35, BC = 21.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 35, BC = 21.
Показать ответ
б) 49√3/3
Решение
Четырёхугольник с вершинами в основаниях высот даёт ∠AHC = 180° − ∠ABC, поэтому ∠ABC = 120°. По теореме косинусов AC = 49, радиус описанной окружности R = AC/(2 sin 120°), а BH = 2R·|cos∠B| = AC/√3 = 49√3/3.
Пример 5
В треугольнике ABC угол ABC тупой, H — точка пересечения продолжений высот, угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 24, BC = 21.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB = 24, BC = 21.
Показать ответ
б) 13√3
Решение
Четырёхугольник с вершинами в основаниях высот даёт ∠AHC = 180° − ∠ABC, поэтому ∠ABC = 120°. По теореме косинусов AC = 39, радиус описанной окружности R = AC/(2 sin 120°), а BH = 2R·|cos∠B| = AC/√3 = 13√3.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.