Тупоугольный равнобедренный: найти MK — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 10, AC = 16.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 10, AC = 16.
Показать ответ
б) 144/25
Решение
Точки K и M лежат на окружности с диаметром AH, поэтому ∠AKM = ∠AHM; из равнобедренности ABC отсюда следует AM = MK. Вычисление в координатах A(−8; 0), C(8; 0), B(0; 6) даёт MK = 144/25.
Пример 2
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 9, AC = 16.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 9, AC = 16.
Показать ответ
б) 272/81
Решение
Точки K и M лежат на окружности с диаметром AH, поэтому ∠AKM = ∠AHM; из равнобедренности ABC отсюда следует AM = MK. Вычисление в координатах A(−8; 0), C(8; 0), B(0; √17) даёт MK = 272/81.
Пример 3
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 16, AC = 26.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 16, AC = 26.
Показать ответ
б) 1131/128
Решение
Точки K и M лежат на окружности с диаметром AH, поэтому ∠AKM = ∠AHM; из равнобедренности ABC отсюда следует AM = MK. Вычисление в координатах A(−13; 0), C(13; 0), B(0; √87) даёт MK = 1131/128.
Пример 4
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 18, AC = 32.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 18, AC = 32.
Показать ответ
б) 544/81
Решение
Точки K и M лежат на окружности с диаметром AH, поэтому ∠AKM = ∠AHM; из равнобедренности ABC отсюда следует AM = MK. Вычисление в координатах A(−16; 0), C(16; 0), B(0; 2√17) даёт MK = 544/81.
Пример 5
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 7, AC = 11.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 7, AC = 11.
Показать ответ
б) 825/196
Решение
Точки K и M лежат на окружности с диаметром AH, поэтому ∠AKM = ∠AHM; из равнобедренности ABC отсюда следует AM = MK. Вычисление в координатах A(−5.5; 0), C(5.5; 0), B(0; 5√3/2) даёт MK = 825/196.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.