Внешнее касание и общая касательная: площадь — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Две окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 3 и 7.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 3 и 7.
Показать ответ
б) 21√21/5
Решение
Общая касательная в точке K делит AB пополам, поэтому ∠AKB = 90°, а AB = 2√(3·7). Треугольник DKC подобен AKB, и искомая площадь равна 21√21/5.
Пример 2
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 12 и 1.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 12 и 1.
Показать ответ
б) 48√3/13
Решение
Общая касательная в точке K делит AB пополам, поэтому ∠AKB = 90°, а AB = 2√(12·1). Треугольник DKC подобен AKB, и искомая площадь равна 48√3/13.
Пример 3
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 6.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 6.
Показать ответ
б) 156√78/19
Решение
Общая касательная в точке K делит AB пополам, поэтому ∠AKB = 90°, а AB = 2√(13·6). Треугольник DKC подобен AKB, и искомая площадь равна 156√78/19.
Пример 4
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 2 и 6.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 2 и 6.
Показать ответ
б) 6√3
Решение
Общая касательная в точке K делит AB пополам, поэтому ∠AKB = 90°, а AB = 2√(2·6). Треугольник DKC подобен AKB, и искомая площадь равна 6√3.
Пример 5
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 1.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 1.
Показать ответ
б) 12√6/7
Решение
Общая касательная в точке K делит AB пополам, поэтому ∠AKB = 90°, а AB = 2√(6·1). Треугольник DKC подобен AKB, и искомая площадь равна 12√6/7.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.