Вневписанная окружность: отношение на боковой стороне — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 9 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 9 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Показать ответ
б) 7:1
Решение
Для вневписанной окружности, касающейся боковой стороны b, радиус равен S/(p − b), а высота к основанию равна 2S/a; из a = 2(p − b) они совпадают. Далее S/(p − b) = 9·S/p даёт p = 9b/8 и a = 2b/8. Точка касания вписанной делит боковую сторону на p − a и p − b, то есть в отношении 7:1.
Пример 2
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Показать ответ
б) 4:1
Решение
Для вневписанной окружности, касающейся боковой стороны b, радиус равен S/(p − b), а высота к основанию равна 2S/a; из a = 2(p − b) они совпадают. Далее S/(p − b) = 6·S/p даёт p = 6b/5 и a = 2b/5. Точка касания вписанной делит боковую сторону на p − a и p − b, то есть в отношении 4:1.
Пример 3
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 7 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 7 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Показать ответ
б) 5:1
Решение
Для вневписанной окружности, касающейся боковой стороны b, радиус равен S/(p − b), а высота к основанию равна 2S/a; из a = 2(p − b) они совпадают. Далее S/(p − b) = 7·S/p даёт p = 7b/6 и a = 2b/6. Точка касания вписанной делит боковую сторону на p − a и p − b, то есть в отношении 5:1.
Пример 4
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Показать ответ
б) 2:1
Решение
Для вневписанной окружности, касающейся боковой стороны b, радиус равен S/(p − b), а высота к основанию равна 2S/a; из a = 2(p − b) они совпадают. Далее S/(p − b) = 4·S/p даёт p = 4b/3 и a = 2b/3. Точка касания вписанной делит боковую сторону на p − a и p − b, то есть в отношении 2:1.
Пример 5
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в три раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в три раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Показать ответ
б) 1:1
Решение
Для вневписанной окружности, касающейся боковой стороны b, радиус равен S/(p − b), а высота к основанию равна 2S/a; из a = 2(p − b) они совпадают. Далее S/(p − b) = 3·S/p даёт p = 3b/2 и a = 2b/2. Точка касания вписанной делит боковую сторону на p − a и p − b, то есть в отношении 1:1.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.