Внутреннее касание, меньшая через центр: найти AL — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Две окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 20, а BC = 32.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 20, а BC = 32.
Показать ответ
б) 2√10
Решение
Гомотетия с центром A и коэффициентом ½ переводит большую окружность в меньшую, а точки B и C — в K и M, поэтому KM ∥ BC и KM = BC/2, а L — середина AP. Отсюда AL = AP/2 = 2√10.
Пример 2
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 13, а BC = 24.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 13, а BC = 24.
Показать ответ
б) √26
Решение
Гомотетия с центром A и коэффициентом ½ переводит большую окружность в меньшую, а точки B и C — в K и M, поэтому KM ∥ BC и KM = BC/2, а L — середина AP. Отсюда AL = AP/2 = √26.
Пример 3
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 5, а BC = 6.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 5, а BC = 6.
Показать ответ
б) √5/2
Решение
Гомотетия с центром A и коэффициентом ½ переводит большую окружность в меньшую, а точки B и C — в K и M, поэтому KM ∥ BC и KM = BC/2, а L — середина AP. Отсюда AL = AP/2 = √5/2.
Пример 4
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
Показать ответ
б) √10
Решение
Гомотетия с центром A и коэффициентом ½ переводит большую окружность в меньшую, а точки B и C — в K и M, поэтому KM ∥ BC и KM = BC/2, а L — середина AP. Отсюда AL = AP/2 = √10.
Пример 5
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 13, а BC = 10.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 13, а BC = 10.
Показать ответ
б) √13/2
Решение
Гомотетия с центром A и коэффициентом ½ переводит большую окружность в меньшую, а точки B и C — в K и M, поэтому KM ∥ BC и KM = BC/2, а L — середина AP. Отсюда AL = AP/2 = √13/2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.