Внутренние и внешние биссектрисы: найти CN — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 24, BC = 2.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 24, BC = 2.
Показать ответ
б) 20√3
Решение
Точка N — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, поэтому CN — биссектриса внутреннего угла C, продолженная до этого центра. Прямым вычислением CN = 20√3.
Пример 2
Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 16, BC = 2.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 16, BC = 2.
Показать ответ
б) 4√34
Решение
Точка N — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, поэтому CN — биссектриса внутреннего угла C, продолженная до этого центра. Прямым вычислением CN = 4√34.
Пример 3
Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 20, BC = 17.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 20, BC = 17.
Показать ответ
б) 2√285
Решение
Точка N — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, поэтому CN — биссектриса внутреннего угла C, продолженная до этого центра. Прямым вычислением CN = 2√285.
Пример 4
Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 10, BC = 10.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 10, BC = 10.
Показать ответ
б) 10√3
Решение
Точка N — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, поэтому CN — биссектриса внутреннего угла C, продолженная до этого центра. Прямым вычислением CN = 10√3.
Пример 5
Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине C пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке N.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 5, BC = 4.
а) Докажите, что 2∠CNM = ∠ABC.
б) Найдите CN, если AB = AC = 5, BC = 4.
Показать ответ
б) √70
Решение
Точка N — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC, поэтому CN — биссектриса внутреннего угла C, продолженная до этого центра. Прямым вычислением CN = √70.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.