Вписанная окружность: площадь треугольника AOM — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 5 и AD = 15.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 5 и AD = 15.
Показать ответ
б) 75/8
Решение
Высота трапеции равна 2·AD·BC/(AD + BC) = 15/2, радиус вписанной окружности — её половина. Прямая DO пересекает AB в точке M на высоте r·AD/(AD − r), и площадь треугольника AOM равна 75/8.
Пример 2
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 9 и AD = 27.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 9 и AD = 27.
Показать ответ
б) 243/8
Решение
Высота трапеции равна 2·AD·BC/(AD + BC) = 27/2, радиус вписанной окружности — её половина. Прямая DO пересекает AB в точке M на высоте r·AD/(AD − r), и площадь треугольника AOM равна 243/8.
Пример 3
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 15 и AD = 35.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 15 и AD = 35.
Показать ответ
б) 315/4
Решение
Высота трапеции равна 2·AD·BC/(AD + BC) = 21, радиус вписанной окружности — её половина. Прямая DO пересекает AB в точке M на высоте r·AD/(AD − r), и площадь треугольника AOM равна 315/4.
Пример 4
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 6 и AD = 12.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 6 и AD = 12.
Показать ответ
б) 12
Решение
Высота трапеции равна 2·AD·BC/(AD + BC) = 8, радиус вписанной окружности — её половина. Прямая DO пересекает AB в точке M на высоте r·AD/(AD − r), и площадь треугольника AOM равна 12.
Пример 5
В прямоугольную трапецию ABCD с прямым углом при вершине A и острым углом при вершине D вписана окружность с центром O. Прямая DO пересекает сторону AB в точке M, а прямая CO пересекает сторону AD в точке K.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 20 и AD = 30.
а) Докажите, что ∠AMO = ∠DKO.
б) Найдите площадь треугольника AOM, если BC = 20 и AD = 30.
Показать ответ
б) 120
Решение
Высота трапеции равна 2·AD·BC/(AD + BC) = 24, радиус вписанной окружности — её половина. Прямая DO пересекает AB в точке M на высоте r·AD/(AD − r), и площадь треугольника AOM равна 120.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.