Вписанная в ромб: площадь четырёхугольника касаний — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 9 и 10. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 9 и 10. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Показать ответ
б) 1080√10/19
Решение
У описанного параллелограмма суммы противоположных сторон равны, откуда все стороны равны — это ромб со стороной 19. Проекция половины диагонали на сторону даёт cos2(∠A/2) = 9/19, радиус вписанной окружности равен 3√10, а точки касания образуют прямоугольник площадью 1080√10/19.
Пример 2
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 11 и 4. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 11 и 4. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Показать ответ
б) 352√11/15
Решение
У описанного параллелограмма суммы противоположных сторон равны, откуда все стороны равны — это ромб со стороной 15. Проекция половины диагонали на сторону даёт cos2(∠A/2) = 11/15, радиус вписанной окружности равен 2√11, а точки касания образуют прямоугольник площадью 352√11/15.
Пример 3
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 13 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 13 и 2. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Показать ответ
б) 104√26/15
Решение
У описанного параллелограмма суммы противоположных сторон равны, откуда все стороны равны — это ромб со стороной 15. Проекция половины диагонали на сторону даёт cos2(∠A/2) = 13/15, радиус вписанной окружности равен √26, а точки касания образуют прямоугольник площадью 104√26/15.
Пример 4
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 13 и 6. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 13 и 6. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Показать ответ
б) 312√78/19
Решение
У описанного параллелограмма суммы противоположных сторон равны, откуда все стороны равны — это ромб со стороной 19. Проекция половины диагонали на сторону даёт cos2(∠A/2) = 13/19, радиус вписанной окружности равен √78, а точки касания образуют прямоугольник площадью 312√78/19.
Пример 5
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 14 и 7. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 14 и 7. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Показать ответ
б) 392√2/3
Решение
У описанного параллелограмма суммы противоположных сторон равны, откуда все стороны равны — это ромб со стороной 21. Проекция половины диагонали на сторону даёт cos2(∠A/2) = 14/21, радиус вписанной окружности равен 7√2, а точки касания образуют прямоугольник площадью 392√2/3.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.