Вписанные в ACH и BCH: площадь MO₁NO₂ — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 12 и BC = 9.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 12 и BC = 9.
Показать ответ
б) 63/50
Решение
Треугольники ACH и CBH подобны исходному, поэтому AO1 и CO2 — соответственные биссектрисы, а угол между ними прямой. Диагонали четырёхугольника MO1NO2 перпендикулярны, и его площадь равна половине их произведения: 63/50.
Пример 2
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 20 и BC = 15.
Показать ответ
б) 7/2
Решение
Треугольники ACH и CBH подобны исходному, поэтому AO1 и CO2 — соответственные биссектрисы, а угол между ними прямой. Диагонали четырёхугольника MO1NO2 перпендикулярны, и его площадь равна половине их произведения: 7/2.
Пример 3
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 4 и BC = 3.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 4 и BC = 3.
Показать ответ
б) 7/50
Решение
Треугольники ACH и CBH подобны исходному, поэтому AO1 и CO2 — соответственные биссектрисы, а угол между ними прямой. Диагонали четырёхугольника MO1NO2 перпендикулярны, и его площадь равна половине их произведения: 7/50.
Пример 4
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 12 и BC = 5.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 12 и BC = 5.
Показать ответ
б) 238/169
Решение
Треугольники ACH и CBH подобны исходному, поэтому AO1 и CO2 — соответственные биссектрисы, а угол между ними прямой. Диагонали четырёхугольника MO1NO2 перпендикулярны, и его площадь равна половине их произведения: 238/169.
Пример 5
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CH из вершины прямого угла. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами O1 и O2 соответственно, касающиеся прямой CH в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 8 и BC = 6.
а) Докажите, что прямые AO1 и CO2 перпендикулярны.
б) Найдите площадь четырёхугольника MO1NO2, если AC = 8 и BC = 6.
Показать ответ
б) 14/25
Решение
Треугольники ACH и CBH подобны исходному, поэтому AO1 и CO2 — соответственные биссектрисы, а угол между ними прямой. Диагонали четырёхугольника MO1NO2 перпендикулярны, и его площадь равна половине их произведения: 14/25.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.