Высота и диаметр описанной: найти DF — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 11, ∠BAC = 35°, ∠ACB = 80°.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 11, ∠BAC = 35°, ∠ACB = 80°.
Показать ответ
б) 11√2
Решение
Угол BFD опирается на диаметр, поэтому DF ⊥ BF, а BF ⊥ AC, значит DF ∥ AC и ADFC — равнобокая трапеция, откуда AD = CF. Хорда DF стягивает дугу, равную |∠A − ∠C| в удвоенном виде, и DF = 2R·|sin(∠A − ∠C)|·… = 11√2.
Пример 2
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 22, ∠BAC = 30°, ∠ACB = 75°.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 22, ∠BAC = 30°, ∠ACB = 75°.
Показать ответ
б) 22√2
Решение
Угол BFD опирается на диаметр, поэтому DF ⊥ BF, а BF ⊥ AC, значит DF ∥ AC и ADFC — равнобокая трапеция, откуда AD = CF. Хорда DF стягивает дугу, равную |∠A − ∠C| в удвоенном виде, и DF = 2R·|sin(∠A − ∠C)|·… = 22√2.
Пример 3
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, ∠BAC = 35°, ∠ACB = 80°.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, ∠BAC = 35°, ∠ACB = 80°.
Показать ответ
б) 4√2
Решение
Угол BFD опирается на диаметр, поэтому DF ⊥ BF, а BF ⊥ AC, значит DF ∥ AC и ADFC — равнобокая трапеция, откуда AD = CF. Хорда DF стягивает дугу, равную |∠A − ∠C| в удвоенном виде, и DF = 2R·|sin(∠A − ∠C)|·… = 4√2.
Пример 4
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 21, ∠BAC = 35°, ∠ACB = 65°.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 21, ∠BAC = 35°, ∠ACB = 65°.
Показать ответ
б) 21
Решение
Угол BFD опирается на диаметр, поэтому DF ⊥ BF, а BF ⊥ AC, значит DF ∥ AC и ADFC — равнобокая трапеция, откуда AD = CF. Хорда DF стягивает дугу, равную |∠A − ∠C| в удвоенном виде, и DF = 2R·|sin(∠A − ∠C)|·… = 21.
Пример 5
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 17, ∠BAC = 25°, ∠ACB = 70°.
а) Докажите, что AD = CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 17, ∠BAC = 25°, ∠ACB = 70°.
Показать ответ
б) 17√2
Решение
Угол BFD опирается на диаметр, поэтому DF ⊥ BF, а BF ⊥ AC, значит DF ∥ AC и ADFC — равнобокая трапеция, откуда AD = CF. Хорда DF стягивает дугу, равную |∠A − ∠C| в удвоенном виде, и DF = 2R·|sin(∠A − ∠C)|·… = 17√2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.