a>b>c>d: сумма и a²−b²+c²−d² — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Алгебраическая теория чисел. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 26 и a2 − b2 + c2 − d2 = 130.
б) Может ли a + b + c + d = 35 и a2 − b2 + c2 − d2 = 35?
в) Пусть a + b + c + d = 1300 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1300. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 26 и a2 − b2 + c2 − d2 = 130.
б) Может ли a + b + c + d = 35 и a2 − b2 + c2 − d2 = 35?
в) Пусть a + b + c + d = 1300 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1300. Найдите количество возможных значений числа a.
Показать ответ
а) a = 12, b = 7, c = 6, d = 1
б) нет: a² − b² + c² − d² = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d, и равенство возможно только при a − b = c − d = 1; тогда a + b = 2b + 1 и c + d = 2d + 1 нечётны, а их сумма чётна — значит нечётное число 35 суммой быть не может
в) 323; крайние случаи — d = 1 (тогда 649, 648, 2, 1 и a = 649) и d = 323 (тогда a = 327)
Решение
Так как a > b и c > d, то a − b ≥ 1 и c − d ≥ 1, поэтому
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 26 и a2 − b2 + c2 − d2 = 130 даёт единственную четвёрку: a = 12, b = 7, c = 6, d = 1.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 35 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1300 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 649. Условие b > c = d + 1 равносильно 649 − d > d + 1, то есть d ≤ 323; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 650 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 323.
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 26 и a2 − b2 + c2 − d2 = 130 даёт единственную четвёрку: a = 12, b = 7, c = 6, d = 1.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 35 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1300 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 649. Условие b > c = d + 1 равносильно 649 − d > d + 1, то есть d ≤ 323; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 650 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 323.
Пример 2
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 20 и a2 − b2 + c2 − d2 = 60.
б) Может ли a + b + c + d = 37 и a2 − b2 + c2 − d2 = 37?
в) Пусть a + b + c + d = 1500 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1500. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 20 и a2 − b2 + c2 − d2 = 60.
б) Может ли a + b + c + d = 37 и a2 − b2 + c2 − d2 = 37?
в) Пусть a + b + c + d = 1500 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1500. Найдите количество возможных значений числа a.
Показать ответ
а) a = 9, b = 6, c = 4, d = 1
б) нет: a² − b² + c² − d² = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d, и равенство возможно только при a − b = c − d = 1; тогда a + b = 2b + 1 и c + d = 2d + 1 нечётны, а их сумма чётна — значит нечётное число 37 суммой быть не может
в) 373; крайние случаи — d = 1 (тогда 749, 748, 2, 1 и a = 749) и d = 373 (тогда a = 377)
Решение
Так как a > b и c > d, то a − b ≥ 1 и c − d ≥ 1, поэтому
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 20 и a2 − b2 + c2 − d2 = 60 даёт единственную четвёрку: a = 9, b = 6, c = 4, d = 1.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 37 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1500 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 749. Условие b > c = d + 1 равносильно 749 − d > d + 1, то есть d ≤ 373; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 750 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 373.
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 20 и a2 − b2 + c2 − d2 = 60 даёт единственную четвёрку: a = 9, b = 6, c = 4, d = 1.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 37 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1500 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 749. Условие b > c = d + 1 равносильно 749 − d > d + 1, то есть d ≤ 373; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 750 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 373.
Пример 3
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 16 и a2 − b2 + c2 − d2 = 32.
б) Может ли a + b + c + d = 47 и a2 − b2 + c2 − d2 = 47?
в) Пусть a + b + c + d = 1800 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1800. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 16 и a2 − b2 + c2 − d2 = 32.
б) Может ли a + b + c + d = 47 и a2 − b2 + c2 − d2 = 47?
в) Пусть a + b + c + d = 1800 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1800. Найдите количество возможных значений числа a.
Показать ответ
а) a = 7, b = 5, c = 3, d = 1
б) нет: a² − b² + c² − d² = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d, и равенство возможно только при a − b = c − d = 1; тогда a + b = 2b + 1 и c + d = 2d + 1 нечётны, а их сумма чётна — значит нечётное число 47 суммой быть не может
в) 448; крайние случаи — d = 1 (тогда 899, 898, 2, 1 и a = 899) и d = 448 (тогда a = 452)
Решение
Так как a > b и c > d, то a − b ≥ 1 и c − d ≥ 1, поэтому
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 16 и a2 − b2 + c2 − d2 = 32 даёт единственную четвёрку: a = 7, b = 5, c = 3, d = 1.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 47 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1800 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 899. Условие b > c = d + 1 равносильно 899 − d > d + 1, то есть d ≤ 448; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 900 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 448.
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 16 и a2 − b2 + c2 − d2 = 32 даёт единственную четвёрку: a = 7, b = 5, c = 3, d = 1.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 47 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1800 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 899. Условие b > c = d + 1 равносильно 899 − d > d + 1, то есть d ≤ 448; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 900 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 448.
Пример 4
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 21 и a2 − b2 + c2 − d2 = 63.
б) Может ли a + b + c + d = 33 и a2 − b2 + c2 − d2 = 33?
в) Пусть a + b + c + d = 1200 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 21 и a2 − b2 + c2 − d2 = 63.
б) Может ли a + b + c + d = 33 и a2 − b2 + c2 − d2 = 33?
в) Пусть a + b + c + d = 1200 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
Показать ответ
а) a = 9, b = 5, c = 4, d = 3
б) нет: a² − b² + c² − d² = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d, и равенство возможно только при a − b = c − d = 1; тогда a + b = 2b + 1 и c + d = 2d + 1 нечётны, а их сумма чётна — значит нечётное число 33 суммой быть не может
в) 298; крайние случаи — d = 1 (тогда 599, 598, 2, 1 и a = 599) и d = 298 (тогда a = 302)
Решение
Так как a > b и c > d, то a − b ≥ 1 и c − d ≥ 1, поэтому
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 21 и a2 − b2 + c2 − d2 = 63 даёт единственную четвёрку: a = 9, b = 5, c = 4, d = 3.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 33 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1200 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 599. Условие b > c = d + 1 равносильно 599 − d > d + 1, то есть d ≤ 298; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 600 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 298.
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 21 и a2 − b2 + c2 − d2 = 63 даёт единственную четвёрку: a = 9, b = 5, c = 4, d = 3.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 33 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1200 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 599. Условие b > c = d + 1 равносильно 599 − d > d + 1, то есть d ≤ 298; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 600 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 298.
Пример 5
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 24 и a2 − b2 + c2 − d2 = 120.
б) Может ли a + b + c + d = 27 и a2 − b2 + c2 − d2 = 27?
в) Пусть a + b + c + d = 1200 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + c + d = 24 и a2 − b2 + c2 − d2 = 120.
б) Может ли a + b + c + d = 27 и a2 − b2 + c2 − d2 = 27?
в) Пусть a + b + c + d = 1200 и a2 − b2 + c2 − d2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.
Показать ответ
а) a = 12, b = 6, c = 4, d = 2
б) нет: a² − b² + c² − d² = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d, и равенство возможно только при a − b = c − d = 1; тогда a + b = 2b + 1 и c + d = 2d + 1 нечётны, а их сумма чётна — значит нечётное число 27 суммой быть не может
в) 298; крайние случаи — d = 1 (тогда 599, 598, 2, 1 и a = 599) и d = 298 (тогда a = 302)
Решение
Так как a > b и c > d, то a − b ≥ 1 и c − d ≥ 1, поэтому
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 24 и a2 − b2 + c2 − d2 = 120 даёт единственную четвёрку: a = 12, b = 6, c = 4, d = 2.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 27 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1200 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 599. Условие b > c = d + 1 равносильно 599 − d > d + 1, то есть d ≤ 298; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 600 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 298.
a2 − b2 + c2 − d2 = (a − b)(a + b) + (c − d)(c + d) ≥ (a + b) + (c + d) = a + b + c + d,
и равенство достигается тогда и только тогда, когда a − b = c − d = 1.
а) Перебор пар (a + b, a − b) при a + b + c + d = 24 и a2 − b2 + c2 − d2 = 120 даёт единственную четвёрку: a = 12, b = 6, c = 4, d = 2.
б) Равенство суммы и знакопеременной суммы квадратов требует a = b + 1 и c = d + 1, тогда a + b + c + d = 2(b + d) + 2 — чётное число, а 27 нечётно.
в) При a + b + c + d = a2 − b2 + c2 − d2 = 1200 имеем a = b + 1, c = d + 1 и b + d = 599. Условие b > c = d + 1 равносильно 599 − d > d + 1, то есть d ≤ 298; при этом d ≥ 1. Каждому такому d отвечает своё a = 600 − d, и все эти значения различны.
Ответ: 298.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.