Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 6588.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Показать ответ
а) нет: сумма двух членов равна 11 · (меньший из них), а 6588 не делится на 11
б) да, например 549, 5490, 549
в) 1197; например, 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — 599 десяток и 598 единиц, сумма 10 · 599 + 598 = 6588
Решение
Обозначим наименьший член последовательности через d. Соседние члены отличаются в 10 раз, поэтому каждый член имеет вид d · 10^k с целым k ≥ 0, а показатели соседних членов отличаются ровно на 1.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 6588 = 11 · 598 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 6588 = 12 · 549, подходит набор 549, 5490, 549. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 6588 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 6588 ≥ 11m + 1. Из 6588 = 11 · 598 + 10 в обоих случаях m ≤ 598, значит членов не больше 1197. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 599 десяток и 598 единиц, её сумма равна 10 · 599 + 598 = 6588. Ответ: 1197.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 6588 = 11 · 598 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 6588 = 12 · 549, подходит набор 549, 5490, 549. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 6588 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 6588 ≥ 11m + 1. Из 6588 = 11 · 598 + 10 в обоих случаях m ≤ 598, значит членов не больше 1197. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 599 десяток и 598 единиц, её сумма равна 10 · 599 + 598 = 6588. Ответ: 1197.
Пример 2
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7644.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Показать ответ
а) нет: сумма двух членов равна 11 · (меньший из них), а 7644 не делится на 11
б) да, например 637, 6370, 637
в) 1389; например, 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — 695 десяток и 694 единиц, сумма 10 · 695 + 694 = 7644
Решение
Обозначим наименьший член последовательности через d. Соседние члены отличаются в 10 раз, поэтому каждый член имеет вид d · 10^k с целым k ≥ 0, а показатели соседних членов отличаются ровно на 1.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 7644 = 11 · 694 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 7644 = 12 · 637, подходит набор 637, 6370, 637. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 7644 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 7644 ≥ 11m + 1. Из 7644 = 11 · 694 + 10 в обоих случаях m ≤ 694, значит членов не больше 1389. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 695 десяток и 694 единиц, её сумма равна 10 · 695 + 694 = 7644. Ответ: 1389.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 7644 = 11 · 694 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 7644 = 12 · 637, подходит набор 637, 6370, 637. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 7644 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 7644 ≥ 11m + 1. Из 7644 = 11 · 694 + 10 в обоих случаях m ≤ 694, значит членов не больше 1389. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 695 десяток и 694 единиц, её сумма равна 10 · 695 + 694 = 7644. Ответ: 1389.
Пример 3
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3684.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Показать ответ
а) нет: сумма двух членов равна 11 · (меньший из них), а 3684 не делится на 11
б) да, например 307, 3070, 307
в) 669; например, 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — 335 десяток и 334 единиц, сумма 10 · 335 + 334 = 3684
Решение
Обозначим наименьший член последовательности через d. Соседние члены отличаются в 10 раз, поэтому каждый член имеет вид d · 10^k с целым k ≥ 0, а показатели соседних членов отличаются ровно на 1.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 3684 = 11 · 334 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 3684 = 12 · 307, подходит набор 307, 3070, 307. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 3684 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 3684 ≥ 11m + 1. Из 3684 = 11 · 334 + 10 в обоих случаях m ≤ 334, значит членов не больше 669. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 335 десяток и 334 единиц, её сумма равна 10 · 335 + 334 = 3684. Ответ: 669.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 3684 = 11 · 334 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 3684 = 12 · 307, подходит набор 307, 3070, 307. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 3684 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 3684 ≥ 11m + 1. Из 3684 = 11 · 334 + 10 в обоих случаях m ≤ 334, значит членов не больше 669. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 335 десяток и 334 единиц, её сумма равна 10 · 335 + 334 = 3684. Ответ: 669.
Пример 4
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3948.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Показать ответ
а) нет: сумма двух членов равна 11 · (меньший из них), а 3948 не делится на 11
б) да, например 329, 3290, 329
в) 717; например, 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — 359 десяток и 358 единиц, сумма 10 · 359 + 358 = 3948
Решение
Обозначим наименьший член последовательности через d. Соседние члены отличаются в 10 раз, поэтому каждый член имеет вид d · 10^k с целым k ≥ 0, а показатели соседних членов отличаются ровно на 1.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 3948 = 11 · 358 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 3948 = 12 · 329, подходит набор 329, 3290, 329. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 3948 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 3948 ≥ 11m + 1. Из 3948 = 11 · 358 + 10 в обоих случаях m ≤ 358, значит членов не больше 717. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 359 десяток и 358 единиц, её сумма равна 10 · 359 + 358 = 3948. Ответ: 717.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 3948 = 11 · 358 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 3948 = 12 · 329, подходит набор 329, 3290, 329. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 3948 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 3948 ≥ 11m + 1. Из 3948 = 11 · 358 + 10 в обоих случаях m ≤ 358, значит членов не больше 717. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 359 десяток и 358 единиц, её сумма равна 10 · 359 + 358 = 3948. Ответ: 717.
Пример 5
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 9360.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Показать ответ
а) нет: сумма двух членов равна 11 · (меньший из них), а 9360 не делится на 11
б) да, например 780, 7800, 780
в) 1701; например, 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — 851 десяток и 850 единиц, сумма 10 · 851 + 850 = 9360
Решение
Обозначим наименьший член последовательности через d. Соседние члены отличаются в 10 раз, поэтому каждый член имеет вид d · 10^k с целым k ≥ 0, а показатели соседних членов отличаются ровно на 1.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 9360 = 11 · 850 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 9360 = 12 · 780, подходит набор 780, 7800, 780. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 9360 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 9360 ≥ 11m + 1. Из 9360 = 11 · 850 + 10 в обоих случаях m ≤ 850, значит членов не больше 1701. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 851 десяток и 850 единиц, её сумма равна 10 · 851 + 850 = 9360. Ответ: 1701.
а) У двух членов один в 10 раз больше другого, значит их сумма равна d + 10d = 11d. Но 9360 = 11 · 850 + 10 не делится на 11. Ответ: нет.
б) У трёх членов показатели идут либо 0, 1, 2, либо 0, 1, 0, либо 1, 0, 1, либо 2, 1, 0, что даёт суммы 111d, 12d, 21d и 111d. Так как 9360 = 12 · 780, подходит набор 780, 7800, 780. Ответ: да.
в) Разобьём последовательность на пары подряд идущих членов. В каждой паре один член в 10 раз больше другого, поэтому сумма пары равна 11 · (меньший член) и не меньше 11. Если членов 2m, то 9360 ≥ 11m; если 2m + 1, то остаётся ещё один член, и 9360 ≥ 11m + 1. Из 9360 = 11 · 850 + 10 в обоих случаях m ≤ 850, значит членов не больше 1701. Столько достигается: 10, 1, 10, 1, …, 1, 10 — в этой последовательности 851 десяток и 850 единиц, её сумма равна 10 · 851 + 850 = 9360. Ответ: 1701.
Другие темы задания №20
1Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов2Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум3Средние без k-го члена: наибольшее M₃4Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов5Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах6Концы нулевые: наименьший второй член7Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.