Средние без k-го члена: наибольшее M₃ — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Последовательность a1, a2, …, a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mₖ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 4, M2 = 5.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 4,2.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 6?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 4,2.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 6?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
Показать ответ
а) например, 5, 0, 4, 9, 7, 0
б) нет: из M₁ = 4 и M₂ = 5 следует a₁ = S − 20 и a₂ = S − 25, поэтому S ≥ 25 и S ≤ 29; для M₃ = 6 потребовалось бы a₃ = S − 30 < 0
в) 5,8; например, 9, 4, 0, 9, 7, 0
Решение
Пусть S — сумма всех шести чисел. Среднее пяти членов без k-го равно (S − aₖ)/5, поэтому Mₖ = (S − aₖ)/5.
Из M1 = 4 получаем a1 = S − 20, из M2 = 5 — a2 = S − 25. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 25; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 29. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 45 − S.
а) Возьмём S = 25: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 4,2 нужно a3 = S − 21 = 4. Остальные три числа в сумме дают 16: подходит 5, 0, 4, 9, 7, 0.
б) Для M3 = 6 нужно a3 = S − 30, но S ≤ 29 < 30, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 29, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 16 — например 9, 4, 0, 9, 7, 0. Тогда M3 = 29/5 = 5,8. Ответ: 5,8.
Из M1 = 4 получаем a1 = S − 20, из M2 = 5 — a2 = S − 25. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 25; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 29. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 45 − S.
а) Возьмём S = 25: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 4,2 нужно a3 = S − 21 = 4. Остальные три числа в сумме дают 16: подходит 5, 0, 4, 9, 7, 0.
б) Для M3 = 6 нужно a3 = S − 30, но S ≤ 29 < 30, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 29, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 16 — например 9, 4, 0, 9, 7, 0. Тогда M3 = 29/5 = 5,8. Ответ: 5,8.
Пример 2
Последовательность a1, a2, …, a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mₖ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 4, M2 = 5.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 4,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 6?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 4,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 6?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
Показать ответ
а) например, 5, 0, 2, 9, 9, 0
б) нет: из M₁ = 4 и M₂ = 5 следует a₁ = S − 20 и a₂ = S − 25, поэтому S ≥ 25 и S ≤ 29; для M₃ = 6 потребовалось бы a₃ = S − 30 < 0
в) 5,8; например, 9, 4, 0, 9, 7, 0
Решение
Пусть S — сумма всех шести чисел. Среднее пяти членов без k-го равно (S − aₖ)/5, поэтому Mₖ = (S − aₖ)/5.
Из M1 = 4 получаем a1 = S − 20, из M2 = 5 — a2 = S − 25. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 25; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 29. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 45 − S.
а) Возьмём S = 25: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 4,6 нужно a3 = S − 23 = 2. Остальные три числа в сумме дают 18: подходит 5, 0, 2, 9, 9, 0.
б) Для M3 = 6 нужно a3 = S − 30, но S ≤ 29 < 30, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 29, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 16 — например 9, 4, 0, 9, 7, 0. Тогда M3 = 29/5 = 5,8. Ответ: 5,8.
Из M1 = 4 получаем a1 = S − 20, из M2 = 5 — a2 = S − 25. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 25; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 29. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 45 − S.
а) Возьмём S = 25: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 4,6 нужно a3 = S − 23 = 2. Остальные три числа в сумме дают 18: подходит 5, 0, 2, 9, 9, 0.
б) Для M3 = 6 нужно a3 = S − 30, но S ≤ 29 < 30, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 29, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 16 — например 9, 4, 0, 9, 7, 0. Тогда M3 = 29/5 = 5,8. Ответ: 5,8.
Пример 3
Последовательность a1, a2, …, a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mₖ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 1, M2 = 2.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 1,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 1,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
Показать ответ
а) например, 5, 0, 2, 3, 0, 0
б) нет: из M₁ = 1 и M₂ = 2 следует a₁ = S − 5 и a₂ = S − 10, поэтому S ≥ 10 и S ≤ 14; для M₃ = 3 потребовалось бы a₃ = S − 15 < 0
в) 2,8; например, 9, 4, 0, 1, 0, 0
Решение
Пусть S — сумма всех шести чисел. Среднее пяти членов без k-го равно (S − aₖ)/5, поэтому Mₖ = (S − aₖ)/5.
Из M1 = 1 получаем a1 = S − 5, из M2 = 2 — a2 = S − 10. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 10; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 14. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 15 − S.
а) Возьмём S = 10: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 1,6 нужно a3 = S − 8 = 2. Остальные три числа в сумме дают 3: подходит 5, 0, 2, 3, 0, 0.
б) Для M3 = 3 нужно a3 = S − 15, но S ≤ 14 < 15, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 14, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 1 — например 9, 4, 0, 1, 0, 0. Тогда M3 = 14/5 = 2,8. Ответ: 2,8.
Из M1 = 1 получаем a1 = S − 5, из M2 = 2 — a2 = S − 10. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 10; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 14. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 15 − S.
а) Возьмём S = 10: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 1,6 нужно a3 = S − 8 = 2. Остальные три числа в сумме дают 3: подходит 5, 0, 2, 3, 0, 0.
б) Для M3 = 3 нужно a3 = S − 15, но S ≤ 14 < 15, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 14, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 1 — например 9, 4, 0, 1, 0, 0. Тогда M3 = 14/5 = 2,8. Ответ: 2,8.
Пример 4
Последовательность a1, a2, …, a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mₖ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 4, M2 = 5.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 4,8.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 6?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 4,8.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 6?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
Показать ответ
а) например, 5, 0, 1, 9, 9, 1
б) нет: из M₁ = 4 и M₂ = 5 следует a₁ = S − 20 и a₂ = S − 25, поэтому S ≥ 25 и S ≤ 29; для M₃ = 6 потребовалось бы a₃ = S − 30 < 0
в) 5,8; например, 9, 4, 0, 9, 7, 0
Решение
Пусть S — сумма всех шести чисел. Среднее пяти членов без k-го равно (S − aₖ)/5, поэтому Mₖ = (S − aₖ)/5.
Из M1 = 4 получаем a1 = S − 20, из M2 = 5 — a2 = S − 25. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 25; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 29. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 45 − S.
а) Возьмём S = 25: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 4,8 нужно a3 = S − 24 = 1. Остальные три числа в сумме дают 19: подходит 5, 0, 1, 9, 9, 1.
б) Для M3 = 6 нужно a3 = S − 30, но S ≤ 29 < 30, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 29, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 16 — например 9, 4, 0, 9, 7, 0. Тогда M3 = 29/5 = 5,8. Ответ: 5,8.
Из M1 = 4 получаем a1 = S − 20, из M2 = 5 — a2 = S − 25. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 25; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 29. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 45 − S.
а) Возьмём S = 25: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 4,8 нужно a3 = S − 24 = 1. Остальные три числа в сумме дают 19: подходит 5, 0, 1, 9, 9, 1.
б) Для M3 = 6 нужно a3 = S − 30, но S ≤ 29 < 30, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 29, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 16 — например 9, 4, 0, 9, 7, 0. Тогда M3 = 29/5 = 5,8. Ответ: 5,8.
Пример 5
Последовательность a1, a2, …, a6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mₖ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 3, M2 = 4.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 3,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 5?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 3,6.
б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 5?
в) Найдите наибольшее возможное значение M3.
Показать ответ
а) например, 5, 0, 2, 9, 4, 0
б) нет: из M₁ = 3 и M₂ = 4 следует a₁ = S − 15 и a₂ = S − 20, поэтому S ≥ 20 и S ≤ 24; для M₃ = 5 потребовалось бы a₃ = S − 25 < 0
в) 4,8; например, 9, 4, 0, 9, 2, 0
Решение
Пусть S — сумма всех шести чисел. Среднее пяти членов без k-го равно (S − aₖ)/5, поэтому Mₖ = (S − aₖ)/5.
Из M1 = 3 получаем a1 = S − 15, из M2 = 4 — a2 = S − 20. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 20; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 24. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 35 − S.
а) Возьмём S = 20: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 3,6 нужно a3 = S − 18 = 2. Остальные три числа в сумме дают 13: подходит 5, 0, 2, 9, 4, 0.
б) Для M3 = 5 нужно a3 = S − 25, но S ≤ 24 < 25, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 24, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 11 — например 9, 4, 0, 9, 2, 0. Тогда M3 = 24/5 = 4,8. Ответ: 4,8.
Из M1 = 3 получаем a1 = S − 15, из M2 = 4 — a2 = S − 20. Так как a2 ≥ 0, то S ≥ 20; так как a1 ≤ 9, то S ≤ 24. Кроме того a3 + a4 + a5 + a6 = S − a1 − a2 = 35 − S.
а) Возьмём S = 20: тогда a1 = 5, a2 = 0, а для M3 = 3,6 нужно a3 = S − 18 = 2. Остальные три числа в сумме дают 13: подходит 5, 0, 2, 9, 4, 0.
б) Для M3 = 5 нужно a3 = S − 25, но S ≤ 24 < 25, поэтому a3 было бы отрицательным. Ответ: нет.
в) M3 = (S − a3)/5 тем больше, чем больше S и чем меньше a3. Наибольшее возможное S равно 24, наименьшее a3 равно 0, и такой случай реализуется: a1 = 9, a2 = 4, a3 = 0, а остальные три числа в сумме дают 11 — например 9, 4, 0, 9, 2, 0. Тогда M3 = 24/5 = 4,8. Ответ: 4,8.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов5Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах6Концы нулевые: наименьший второй член7Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.