Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В последовательности a1, a2, …, aₙ₋1, aₙ, состоящей из целых чисел, a1 = 1, aₙ = 179. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 7, 9 или 25.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 2024 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 2024 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Показать ответ
а) например, 1, 8, 17, −10, 35, −28, 53, −46, 71, −64, 89, −82, 107, −100, 125, −118, 143, −136, 161, −154, 179
б) нет: все три возможные суммы нечётны, поэтому соседние члены имеют разную чётность; крайние члены 1 и 179 нечётны, значит членов нечётное число, а 2024 чётно
в) 21; например, последовательность из пункта а)
Решение
Обозначим через sᵢ сумму i-го и (i + 1)-го членов, каждая sᵢ равна 7, 9 или 25.
а) Подходит, например, 1, 8, 17, −10, 35, −28, 53, −46, 71, −64, 89, −82, 107, −100, 125, −118, 143, −136, 161, −154, 179: суммы соседних членов идут 9, 25 (1 раз), затем 7, 25 (9 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 179 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 2024 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 25 − 7 = 18. Значит 179 − 1 = 178 ≤ 18k, откуда k ≥ 10, то есть членов не меньше 21. Столько достаточно: в примере из пункта а) 1 пара даёт разность 16, а 9 пар дают разность 18, и в сумме получается ровно 178. Ответ: 21.
а) Подходит, например, 1, 8, 17, −10, 35, −28, 53, −46, 71, −64, 89, −82, 107, −100, 125, −118, 143, −136, 161, −154, 179: суммы соседних членов идут 9, 25 (1 раз), затем 7, 25 (9 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 179 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 2024 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 25 − 7 = 18. Значит 179 − 1 = 178 ≤ 18k, откуда k ≥ 10, то есть членов не меньше 21. Столько достаточно: в примере из пункта а) 1 пара даёт разность 16, а 9 пар дают разность 18, и в сумме получается ровно 178. Ответ: 21.
Пример 2
В последовательности a1, a2, …, aₙ₋1, aₙ, состоящей из целых чисел, a1 = 1, aₙ = 309. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 7, 9 или 33.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 1000 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Показать ответ
а) например, 1, 8, 25, −16, 49, −42, 75, −68, 101, −94, 127, −120, 153, −146, 179, −172, 205, −198, 231, −224, 257, −250, 283, −276, 309
б) нет: все три возможные суммы нечётны, поэтому соседние члены имеют разную чётность; крайние члены 1 и 309 нечётны, значит членов нечётное число, а 1000 чётно
в) 25; например, последовательность из пункта а)
Решение
Обозначим через sᵢ сумму i-го и (i + 1)-го членов, каждая sᵢ равна 7, 9 или 33.
а) Подходит, например, 1, 8, 25, −16, 49, −42, 75, −68, 101, −94, 127, −120, 153, −146, 179, −172, 205, −198, 231, −224, 257, −250, 283, −276, 309: суммы соседних членов идут 9, 33 (2 раза), затем 7, 33 (10 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 309 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 1000 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 33 − 7 = 26. Значит 309 − 1 = 308 ≤ 26k, откуда k ≥ 12, то есть членов не меньше 25. Столько достаточно: в примере из пункта а) 2 пары дают разность 24, а 10 пар дают разность 26, и в сумме получается ровно 308. Ответ: 25.
а) Подходит, например, 1, 8, 25, −16, 49, −42, 75, −68, 101, −94, 127, −120, 153, −146, 179, −172, 205, −198, 231, −224, 257, −250, 283, −276, 309: суммы соседних членов идут 9, 33 (2 раза), затем 7, 33 (10 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 309 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 1000 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 33 − 7 = 26. Значит 309 − 1 = 308 ≤ 26k, откуда k ≥ 12, то есть членов не меньше 25. Столько достаточно: в примере из пункта а) 2 пары дают разность 24, а 10 пар дают разность 26, и в сумме получается ровно 308. Ответ: 25.
Пример 3
В последовательности a1, a2, …, aₙ₋1, aₙ, состоящей из целых чисел, a1 = 1, aₙ = 131. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 31.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 2024 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 2024 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Показать ответ
а) например, 1, 4, 27, −22, 53, −48, 79, −74, 105, −100, 131
б) нет: все три возможные суммы нечётны, поэтому соседние члены имеют разную чётность; крайние члены 1 и 131 нечётны, значит членов нечётное число, а 2024 чётно
в) 11; например, последовательность из пункта а)
Решение
Обозначим через sᵢ сумму i-го и (i + 1)-го членов, каждая sᵢ равна 3, 5 или 31.
а) Подходит, например, 1, 4, 27, −22, 53, −48, 79, −74, 105, −100, 131: суммы соседних членов идут 5, 31 (5 раз), затем 3, 31 (0 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 131 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 2024 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 31 − 3 = 28. Значит 131 − 1 = 130 ≤ 28k, откуда k ≥ 5, то есть членов не меньше 11. Столько достаточно: в примере из пункта а) 5 пар дают разность 26, а 0 пар дают разность 28, и в сумме получается ровно 130. Ответ: 11.
а) Подходит, например, 1, 4, 27, −22, 53, −48, 79, −74, 105, −100, 131: суммы соседних членов идут 5, 31 (5 раз), затем 3, 31 (0 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 131 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 2024 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 31 − 3 = 28. Значит 131 − 1 = 130 ≤ 28k, откуда k ≥ 5, то есть членов не меньше 11. Столько достаточно: в примере из пункта а) 5 пар дают разность 26, а 0 пар дают разность 28, и в сумме получается ровно 130. Ответ: 11.
Пример 4
В последовательности a1, a2, …, aₙ₋1, aₙ, состоящей из целых чисел, a1 = 1, aₙ = 87. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 5, 7 или 23.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 2024 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 2024 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Показать ответ
а) например, 1, 6, 17, −10, 33, −28, 51, −46, 69, −64, 87
б) нет: все три возможные суммы нечётны, поэтому соседние члены имеют разную чётность; крайние члены 1 и 87 нечётны, значит членов нечётное число, а 2024 чётно
в) 11; например, последовательность из пункта а)
Решение
Обозначим через sᵢ сумму i-го и (i + 1)-го членов, каждая sᵢ равна 5, 7 или 23.
а) Подходит, например, 1, 6, 17, −10, 33, −28, 51, −46, 69, −64, 87: суммы соседних членов идут 7, 23 (2 раза), затем 5, 23 (3 раза).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 87 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 2024 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 23 − 5 = 18. Значит 87 − 1 = 86 ≤ 18k, откуда k ≥ 5, то есть членов не меньше 11. Столько достаточно: в примере из пункта а) 2 пары дают разность 16, а 3 пары дают разность 18, и в сумме получается ровно 86. Ответ: 11.
а) Подходит, например, 1, 6, 17, −10, 33, −28, 51, −46, 69, −64, 87: суммы соседних членов идут 7, 23 (2 раза), затем 5, 23 (3 раза).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 87 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 2024 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 23 − 5 = 18. Значит 87 − 1 = 86 ≤ 18k, откуда k ≥ 5, то есть членов не меньше 11. Столько достаточно: в примере из пункта а) 2 пары дают разность 16, а 3 пары дают разность 18, и в сумме получается ровно 86. Ответ: 11.
Пример 5
В последовательности a1, a2, …, aₙ₋1, aₙ, состоящей из целых чисел, a1 = 1, aₙ = 179. Сумма любых двух соседних членов последовательности равна 3, 5 или 19.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 500 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 500 членов?
в) Из какого наименьшего числа членов может состоять такая последовательность?
Показать ответ
а) например, 1, 4, 15, −10, 29, −24, 43, −38, 57, −52, 71, −66, 85, −80, 99, −96, 115, −112, 131, −128, 147, −144, 163, −160, 179
б) нет: все три возможные суммы нечётны, поэтому соседние члены имеют разную чётность; крайние члены 1 и 179 нечётны, значит членов нечётное число, а 500 чётно
в) 25; например, последовательность из пункта а)
Решение
Обозначим через sᵢ сумму i-го и (i + 1)-го членов, каждая sᵢ равна 3, 5 или 19.
а) Подходит, например, 1, 4, 15, −10, 29, −24, 43, −38, 57, −52, 71, −66, 85, −80, 99, −96, 115, −112, 131, −128, 147, −144, 163, −160, 179: суммы соседних членов идут 5, 19 (7 раз), затем 3, 19 (5 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 179 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 500 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 19 − 3 = 16. Значит 179 − 1 = 178 ≤ 16k, откуда k ≥ 12, то есть членов не меньше 25. Столько достаточно: в примере из пункта а) 7 пар дают разность 14, а 5 пар дают разность 16, и в сумме получается ровно 178. Ответ: 25.
а) Подходит, например, 1, 4, 15, −10, 29, −24, 43, −38, 57, −52, 71, −66, 85, −80, 99, −96, 115, −112, 131, −128, 147, −144, 163, −160, 179: суммы соседних членов идут 5, 19 (7 раз), затем 3, 19 (5 раз).
б) Все три суммы нечётны, поэтому в каждой соседней паре одно число чётно, а другое нечётно, то есть чётность членов чередуется. Первый член 1 нечётен, значит нечётны все члены с нечётными номерами и чётны все члены с чётными номерами. Последний член 179 нечётен, поэтому его номер нечётен, а 500 — чётное число. Ответ: нет.
в) По той же причине n = 2k + 1. Заметив, что a2 = s1 − a1, a3 = s2 − a2 = a1 + (s2 − s1) и так далее, получаем aₙ − a1 = (s2 − s1) + (s4 − s3) + … + (s2ₖ − s2ₖ₋1) — сумма k слагаемых, каждое из которых не больше 19 − 3 = 16. Значит 179 − 1 = 178 ≤ 16k, откуда k ≥ 12, то есть членов не меньше 25. Столько достаточно: в примере из пункта а) 7 пар дают разность 14, а 5 пар дают разность 16, и в сумме получается ровно 178. Ответ: 25.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум3Средние без k-го члена: наибольшее M₃4Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов5Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах6Концы нулевые: наименьший второй член7Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.