Средние арифметические набора — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
Показать ответ
а) нет: если наибольшее число равно M, то семь наибольших различны и не превосходят M, поэтому их сумма не больше M + (M − 1) + … + (M − 6) = 7M − 21; из 7M − 21 ≥ 112 следует M ≥ 19, а 18 меньше
б) нет: сумма всех двенадцати чисел равна 56 + 112 − (a₆ + a₇), поэтому среднее 11 потребовало бы a₆ + a₇ = 36, а эта сумма не превосходит 27
в) 11 3/4 (то есть 141/12); пример: 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19; меньше нельзя — среднее равно (56 + 112 − (a₆ + a₇))/12, а a₆ + a₇ ≤ 27
Решение
Расположим числа по возрастанию: a1 < a2 < … < a12. Семь наименьших — это a1…a7 с суммой 56, семь наибольших — a6…a12 с суммой 112; они перекрываются по числам a6 и a7.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 56 + 112 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 56 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 27.
Итого S67 ≤ 27, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19. Наименьшее среднее равно 141/12 = 11 3/4.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 56 + 112 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 56 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 27.
Итого S67 ≤ 27, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19. Наименьшее среднее равно 141/12 = 11 3/4.
Пример 2
На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 9, а среднее арифметическое семи наибольших равно 19.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 20?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 13?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 20?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 13?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
Показать ответ
а) нет: если наибольшее число равно M, то семь наибольших различны и не превосходят M, поэтому их сумма не больше M + (M − 1) + … + (M − 6) = 7M − 21; из 7M − 21 ≥ 133 следует M ≥ 22, а 20 меньше
б) нет: сумма всех двенадцати чисел равна 63 + 133 − (a₆ + a₇), поэтому среднее 13 потребовало бы a₆ + a₇ = 40, а эта сумма не превосходит 33
в) 13 7/12 (то есть 163/12); пример: 1, 2, 3, 9, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и 22; меньше нельзя — среднее равно (63 + 133 − (a₆ + a₇))/12, а a₆ + a₇ ≤ 33
Решение
Расположим числа по возрастанию: a1 < a2 < … < a12. Семь наименьших — это a1…a7 с суммой 63, семь наибольших — a6…a12 с суммой 133; они перекрываются по числам a6 и a7.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 63 + 133 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 63 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 33.
Итого S67 ≤ 33, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 9, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и 22. Наименьшее среднее равно 163/12 = 13 7/12.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 63 + 133 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 63 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 33.
Итого S67 ≤ 33, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 9, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и 22. Наименьшее среднее равно 163/12 = 13 7/12.
Пример 3
На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 16?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
Показать ответ
а) нет: если наибольшее число равно M, то семь наибольших различны и не превосходят M, поэтому их сумма не больше M + (M − 1) + … + (M − 6) = 7M − 21; из 7M − 21 ≥ 112 следует M ≥ 19, а 16 меньше
б) нет: сумма всех двенадцати чисел равна 56 + 112 − (a₆ + a₇), поэтому среднее 11 потребовало бы a₆ + a₇ = 36, а эта сумма не превосходит 27
в) 11 3/4 (то есть 141/12); пример: 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19; меньше нельзя — среднее равно (56 + 112 − (a₆ + a₇))/12, а a₆ + a₇ ≤ 27
Решение
Расположим числа по возрастанию: a1 < a2 < … < a12. Семь наименьших — это a1…a7 с суммой 56, семь наибольших — a6…a12 с суммой 112; они перекрываются по числам a6 и a7.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 56 + 112 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 56 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 27.
Итого S67 ≤ 27, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19. Наименьшее среднее равно 141/12 = 11 3/4.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 56 + 112 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 56 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 27.
Итого S67 ≤ 27, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 и 19. Наименьшее среднее равно 141/12 = 11 3/4.
Пример 4
На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 10, а среднее арифметическое семи наибольших равно 15.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 17?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 12?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 17?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 12?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
Показать ответ
а) нет: если наибольшее число равно M, то семь наибольших различны и не превосходят M, поэтому их сумма не больше M + (M − 1) + … + (M − 6) = 7M − 21; из 7M − 21 ≥ 105 следует M ≥ 18, а 17 меньше
б) нет: сумма всех двенадцати чисел равна 70 + 105 − (a₆ + a₇), поэтому среднее 12 потребовало бы a₆ + a₇ = 31, а эта сумма не превосходит 25
в) 12 1/2 (то есть 150/12); пример: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18; меньше нельзя — среднее равно (70 + 105 − (a₆ + a₇))/12, а a₆ + a₇ ≤ 25
Решение
Расположим числа по возрастанию: a1 < a2 < … < a12. Семь наименьших — это a1…a7 с суммой 70, семь наибольших — a6…a12 с суммой 105; они перекрываются по числам a6 и a7.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 70 + 105 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 70 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 25.
Итого S67 ≤ 25, и это достигается, например, на наборе 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18. Наименьшее среднее равно 150/12 = 12 1/2.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 70 + 105 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 70 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 25.
Итого S67 ≤ 25, и это достигается, например, на наборе 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18. Наименьшее среднее равно 150/12 = 12 1/2.
Пример 5
На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое семи наибольших равно 14.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 15?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 9?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 15?
б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 9?
в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.
Показать ответ
а) нет: если наибольшее число равно M, то семь наибольших различны и не превосходят M, поэтому их сумма не больше M + (M − 1) + … + (M − 6) = 7M − 21; из 7M − 21 ≥ 98 следует M ≥ 17, а 15 меньше
б) нет: сумма всех двенадцати чисел равна 42 + 98 − (a₆ + a₇), поэтому среднее 9 потребовало бы a₆ + a₇ = 32, а эта сумма не превосходит 23
в) 9 3/4 (то есть 117/12); пример: 1, 2, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17; меньше нельзя — среднее равно (42 + 98 − (a₆ + a₇))/12, а a₆ + a₇ ≤ 23
Решение
Расположим числа по возрастанию: a1 < a2 < … < a12. Семь наименьших — это a1…a7 с суммой 42, семь наибольших — a6…a12 с суммой 98; они перекрываются по числам a6 и a7.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 42 + 98 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 42 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 23.
Итого S67 ≤ 23, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17. Наименьшее среднее равно 117/12 = 9 3/4.
Поэтому сумма всех двенадцати равна 42 + 98 − (a6 + a7), и минимум среднего достигается при максимуме S67 = a6 + a7.
Оценим S67 сверху. Во-первых, a1 + … + a5 ≥ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, поэтому S67 ≤ 42 − 15. Во-вторых, числа a8 … a12 различны и больше a7, значит их сумма не меньше 5a7 + 15; вместе с a7 ≥ (S67 + 1)/2 это даёт S67 ≤ 23.
Итого S67 ≤ 23, и это достигается, например, на наборе 1, 2, 3, 4, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17. Наименьшее среднее равно 117/12 = 9 3/4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.