Концы нулевые: наименьший второй член — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В последовательности из 100 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Показать ответ
а) нет: разности соседних членов строго убывают, поэтому при неположительной первой разности все следующие отрицательны и сумма разностей была бы меньше нуля, а она равна 0
б) нет: из dᵢ ≤ d₁ − (i − 1) следует 0 = Σdᵢ ≤ 99d₁ − 4851, то есть d₁ ≥ 49 > 20
в) 49; например, aₖ = (k − 1)(100 − k)/2, то есть 0, 49, 97, 144, …, 97, 49, 0
Решение
Обозначим dᵢ = aᵢ₊1 − aᵢ. Условие 2aᵢ > aᵢ₋1 + aᵢ₊1 равносильно dᵢ₋1 > dᵢ: разности строго убывают. Крайние члены равны нулю, поэтому d1 + d2 + … + dₙ₋1 = a100 − a1 = 0, а второй член равен d1.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 99d1 − (1 + 2 + … + 98) = 99d1 − 4851,
откуда d1 ≥ 4851/99 = 49. Значение 20 меньше 49. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 49. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 49 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(100 − k)/2 — числа целые, потому что 100 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 49. Ответ: 49.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 99d1 − (1 + 2 + … + 98) = 99d1 − 4851,
откуда d1 ≥ 4851/99 = 49. Значение 20 меньше 49. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 49. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 49 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(100 − k)/2 — числа целые, потому что 100 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 49. Ответ: 49.
Пример 2
В последовательности из 100 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 10?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 10?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Показать ответ
а) нет: разности соседних членов строго убывают, поэтому при неположительной первой разности все следующие отрицательны и сумма разностей была бы меньше нуля, а она равна 0
б) нет: из dᵢ ≤ d₁ − (i − 1) следует 0 = Σdᵢ ≤ 99d₁ − 4851, то есть d₁ ≥ 49 > 10
в) 49; например, aₖ = (k − 1)(100 − k)/2, то есть 0, 49, 97, 144, …, 97, 49, 0
Решение
Обозначим dᵢ = aᵢ₊1 − aᵢ. Условие 2aᵢ > aᵢ₋1 + aᵢ₊1 равносильно dᵢ₋1 > dᵢ: разности строго убывают. Крайние члены равны нулю, поэтому d1 + d2 + … + dₙ₋1 = a100 − a1 = 0, а второй член равен d1.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 99d1 − (1 + 2 + … + 98) = 99d1 − 4851,
откуда d1 ≥ 4851/99 = 49. Значение 10 меньше 49. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 49. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 49 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(100 − k)/2 — числа целые, потому что 100 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 49. Ответ: 49.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 99d1 − (1 + 2 + … + 98) = 99d1 − 4851,
откуда d1 ≥ 4851/99 = 49. Значение 10 меньше 49. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 49. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 49 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(100 − k)/2 — числа целые, потому что 100 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 49. Ответ: 49.
Пример 3
В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 30?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 30?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Показать ответ
а) нет: разности соседних членов строго убывают, поэтому при неположительной первой разности все следующие отрицательны и сумма разностей была бы меньше нуля, а она равна 0
б) нет: из dᵢ ≤ d₁ − (i − 1) следует 0 = Σdᵢ ≤ 79d₁ − 3081, то есть d₁ ≥ 39 > 30
в) 39; например, aₖ = (k − 1)(80 − k)/2, то есть 0, 39, 77, 114, …, 77, 39, 0
Решение
Обозначим dᵢ = aᵢ₊1 − aᵢ. Условие 2aᵢ > aᵢ₋1 + aᵢ₊1 равносильно dᵢ₋1 > dᵢ: разности строго убывают. Крайние члены равны нулю, поэтому d1 + d2 + … + dₙ₋1 = a80 − a1 = 0, а второй член равен d1.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 79d1 − (1 + 2 + … + 78) = 79d1 − 3081,
откуда d1 ≥ 3081/79 = 39. Значение 30 меньше 39. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 39. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 39 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(80 − k)/2 — числа целые, потому что 80 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 39. Ответ: 39.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 79d1 − (1 + 2 + … + 78) = 79d1 − 3081,
откуда d1 ≥ 3081/79 = 39. Значение 30 меньше 39. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 39. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 39 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(80 − k)/2 — числа целые, потому что 80 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 39. Ответ: 39.
Пример 4
В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 20?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Показать ответ
а) нет: разности соседних членов строго убывают, поэтому при неположительной первой разности все следующие отрицательны и сумма разностей была бы меньше нуля, а она равна 0
б) нет: из dᵢ ≤ d₁ − (i − 1) следует 0 = Σdᵢ ≤ 79d₁ − 3081, то есть d₁ ≥ 39 > 20
в) 39; например, aₖ = (k − 1)(80 − k)/2, то есть 0, 39, 77, 114, …, 77, 39, 0
Решение
Обозначим dᵢ = aᵢ₊1 − aᵢ. Условие 2aᵢ > aᵢ₋1 + aᵢ₊1 равносильно dᵢ₋1 > dᵢ: разности строго убывают. Крайние члены равны нулю, поэтому d1 + d2 + … + dₙ₋1 = a80 − a1 = 0, а второй член равен d1.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 79d1 − (1 + 2 + … + 78) = 79d1 − 3081,
откуда d1 ≥ 3081/79 = 39. Значение 20 меньше 39. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 39. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 39 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(80 − k)/2 — числа целые, потому что 80 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 39. Ответ: 39.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 79d1 − (1 + 2 + … + 78) = 79d1 − 3081,
откуда d1 ≥ 3081/79 = 39. Значение 20 меньше 39. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 39. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 39 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(80 − k)/2 — числа целые, потому что 80 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 39. Ответ: 39.
Пример 5
В последовательности из 80 целых чисел каждое число (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних чисел. Первый и последний члены последовательности равны 0.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 25?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
а) Может ли второй член такой последовательности быть отрицательным?
б) Может ли второй член такой последовательности быть равным 25?
в) Найдите наименьшее значение второго члена такой последовательности.
Показать ответ
а) нет: разности соседних членов строго убывают, поэтому при неположительной первой разности все следующие отрицательны и сумма разностей была бы меньше нуля, а она равна 0
б) нет: из dᵢ ≤ d₁ − (i − 1) следует 0 = Σdᵢ ≤ 79d₁ − 3081, то есть d₁ ≥ 39 > 25
в) 39; например, aₖ = (k − 1)(80 − k)/2, то есть 0, 39, 77, 114, …, 77, 39, 0
Решение
Обозначим dᵢ = aᵢ₊1 − aᵢ. Условие 2aᵢ > aᵢ₋1 + aᵢ₊1 равносильно dᵢ₋1 > dᵢ: разности строго убывают. Крайние члены равны нулю, поэтому d1 + d2 + … + dₙ₋1 = a80 − a1 = 0, а второй член равен d1.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 79d1 − (1 + 2 + … + 78) = 79d1 − 3081,
откуда d1 ≥ 3081/79 = 39. Значение 25 меньше 39. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 39. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 39 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(80 − k)/2 — числа целые, потому что 80 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 39. Ответ: 39.
а) Если d1 ≤ 0, то d2 < d1 ≤ 0 и все последующие разности отрицательны, значит сумма всех разностей отрицательна — противоречие. Поэтому d1 ≥ 1. Ответ: нет.
б) Разности целые и строго убывают, поэтому dᵢ ≤ d1 − (i − 1) и
0 = d1 + … + dₙ₋1 ≤ 79d1 − (1 + 2 + … + 78) = 79d1 − 3081,
откуда d1 ≥ 3081/79 = 39. Значение 25 меньше 39. Ответ: нет.
в) Итак, второй член не меньше 39. Равенство возможно, только когда все разности убывают ровно на единицу: dᵢ = 39 − (i − 1). Тогда aₖ = (k − 1)(80 − k)/2 — числа целые, потому что 80 чётно, крайние равны нулю, а второй член равен 39. Ответ: 39.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.