Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске было написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 45. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 39. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 42?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 39. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 39. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 42?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 39. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например числа 1, 45, 45, …, 45: единицу уменьшили и стёрли, среднее выросло с 42,8 до 45
б) нет: если уменьшили k чисел, из них m были единицами, то осталось 20 − m чисел с суммой 780 − k, а среднее равно (780 − k)/(20 − m). Все единицы вместе с остальными числами дают сумму не больше m + (20 − m)·45, откуда m ≤ 2. Значение 42 потребовало бы k = 780 − 42·(20 − m), что при m ≤ 2 выходит за границы 1 ≤ k ≤ 20
в) 43 2/9; например 2 единицы и числа 13, 45, 45, …, 45 — уменьшают и стирают все единицы
Решение
Пусть уменьшили k чисел, из них m оказались единицами (их стёрли). Тогда на доске осталось 20 − m чисел, а их сумма равна 780 − k, поэтому среднее равно (780 − k)/(20 − m).
а) Возьмём числа 1, 45, …, 45. Их среднее равно 42,8, а после стирания единицы остаётся 19 чисел по 45, среднее 45 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (20 − m)·45, и из m + (20 − m)·45 ≥ 780 получаем m ≤ 2.
При m = k = 2 среднее равно (780 − 2)/(20 − 2) = 43 2/9; такой набор существует: 2 единицы и числа 13, 45, 45, …, 45. Значение 42 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 43 2/9.
а) Возьмём числа 1, 45, …, 45. Их среднее равно 42,8, а после стирания единицы остаётся 19 чисел по 45, среднее 45 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (20 − m)·45, и из m + (20 − m)·45 ≥ 780 получаем m ≤ 2.
При m = k = 2 среднее равно (780 − 2)/(20 − 2) = 43 2/9; такой набор существует: 2 единицы и числа 13, 45, 45, …, 45. Значение 42 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 43 2/9.
Пример 2
На доске было написано 24 натуральных числа (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 43?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 43?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например числа 1, 50, 50, …, 50: единицу уменьшили и стёрли, среднее выросло с 47,96 до 50
б) нет: если уменьшили k чисел, из них m были единицами, то осталось 24 − m чисел с суммой 768 − k, а среднее равно (768 − k)/(24 − m). Все единицы вместе с остальными числами дают сумму не больше m + (24 − m)·50, откуда m ≤ 8. Значение 43 потребовало бы k = 768 − 43·(24 − m), что при m ≤ 8 выходит за границы 1 ≤ k ≤ 24
в) 47 1/2; например 8 единиц и числа 10, 50, 50, …, 50 — уменьшают и стирают все единицы
Решение
Пусть уменьшили k чисел, из них m оказались единицами (их стёрли). Тогда на доске осталось 24 − m чисел, а их сумма равна 768 − k, поэтому среднее равно (768 − k)/(24 − m).
а) Возьмём числа 1, 50, …, 50. Их среднее равно 47,96, а после стирания единицы остаётся 23 числа по 50, среднее 50 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (24 − m)·50, и из m + (24 − m)·50 ≥ 768 получаем m ≤ 8.
При m = k = 8 среднее равно (768 − 8)/(24 − 8) = 47 1/2; такой набор существует: 8 единиц и числа 10, 50, 50, …, 50. Значение 43 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 47 1/2.
а) Возьмём числа 1, 50, …, 50. Их среднее равно 47,96, а после стирания единицы остаётся 23 числа по 50, среднее 50 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (24 − m)·50, и из m + (24 − m)·50 ≥ 768 получаем m ≤ 8.
При m = k = 8 среднее равно (768 − 8)/(24 − 8) = 47 1/2; такой набор существует: 8 единиц и числа 10, 50, 50, …, 50. Значение 43 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 47 1/2.
Пример 3
На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 50. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 33. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 43?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 33. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 33. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 43?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 33. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например числа 1, 50, 50, …, 50: единицу уменьшили и стёрли, среднее выросло с 48,37 до 50
б) нет: если уменьшили k чисел, из них m были единицами, то осталось 30 − m чисел с суммой 990 − k, а среднее равно (990 − k)/(30 − m). Все единицы вместе с остальными числами дают сумму не больше m + (30 − m)·50, откуда m ≤ 10. Значение 43 потребовало бы k = 990 − 43·(30 − m), что при m ≤ 10 выходит за границы 1 ≤ k ≤ 30
в) 49; например 10 единиц и числа 30, 50, 50, …, 50 — уменьшают и стирают все единицы
Решение
Пусть уменьшили k чисел, из них m оказались единицами (их стёрли). Тогда на доске осталось 30 − m чисел, а их сумма равна 990 − k, поэтому среднее равно (990 − k)/(30 − m).
а) Возьмём числа 1, 50, …, 50. Их среднее равно 48,37, а после стирания единицы остаётся 29 чисел по 50, среднее 50 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (30 − m)·50, и из m + (30 − m)·50 ≥ 990 получаем m ≤ 10.
При m = k = 10 среднее равно (990 − 10)/(30 − 10) = 49; такой набор существует: 10 единиц и числа 30, 50, 50, …, 50. Значение 43 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 49.
а) Возьмём числа 1, 50, …, 50. Их среднее равно 48,37, а после стирания единицы остаётся 29 чисел по 50, среднее 50 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (30 − m)·50, и из m + (30 − m)·50 ≥ 990 получаем m ≤ 10.
При m = k = 10 среднее равно (990 − 10)/(30 − 10) = 49; такой набор существует: 10 единиц и числа 30, 50, 50, …, 50. Значение 43 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 49.
Пример 4
На доске было написано 24 натуральных числа (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 45. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 30. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 40?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 30. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 30. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 40?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 30. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например числа 1, 45, 45, …, 45: единицу уменьшили и стёрли, среднее выросло с 43,17 до 45
б) нет: если уменьшили k чисел, из них m были единицами, то осталось 24 − m чисел с суммой 720 − k, а среднее равно (720 − k)/(24 − m). Все единицы вместе с остальными числами дают сумму не больше m + (24 − m)·45, откуда m ≤ 8. Значение 40 потребовало бы k = 720 − 40·(24 − m), что при m ≤ 8 выходит за границы 1 ≤ k ≤ 24
в) 44 1/2; например 8 единиц и числа 37, 45, 45, …, 45 — уменьшают и стирают все единицы
Решение
Пусть уменьшили k чисел, из них m оказались единицами (их стёрли). Тогда на доске осталось 24 − m чисел, а их сумма равна 720 − k, поэтому среднее равно (720 − k)/(24 − m).
а) Возьмём числа 1, 45, …, 45. Их среднее равно 43,17, а после стирания единицы остаётся 23 числа по 45, среднее 45 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (24 − m)·45, и из m + (24 − m)·45 ≥ 720 получаем m ≤ 8.
При m = k = 8 среднее равно (720 − 8)/(24 − 8) = 44 1/2; такой набор существует: 8 единиц и числа 37, 45, 45, …, 45. Значение 40 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 44 1/2.
а) Возьмём числа 1, 45, …, 45. Их среднее равно 43,17, а после стирания единицы остаётся 23 числа по 45, среднее 45 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (24 − m)·45, и из m + (24 − m)·45 ≥ 720 получаем m ≤ 8.
При m = k = 8 среднее равно (720 − 8)/(24 − 8) = 44 1/2; такой набор существует: 8 единиц и числа 37, 45, 45, …, 45. Значение 40 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 44 1/2.
Пример 5
На доске было написано 24 натуральных числа (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 35?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 35?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 29. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Показать ответ
а) да, например числа 1, 40, 40, …, 40: единицу уменьшили и стёрли, среднее выросло с 38,38 до 40
б) нет: если уменьшили k чисел, из них m были единицами, то осталось 24 − m чисел с суммой 696 − k, а среднее равно (696 − k)/(24 − m). Все единицы вместе с остальными числами дают сумму не больше m + (24 − m)·40, откуда m ≤ 6. Значение 35 потребовало бы k = 696 − 35·(24 − m), что при m ≤ 6 выходит за границы 1 ≤ k ≤ 24
в) 38 1/3; например 6 единиц и числа 10, 40, 40, …, 40 — уменьшают и стирают все единицы
Решение
Пусть уменьшили k чисел, из них m оказались единицами (их стёрли). Тогда на доске осталось 24 − m чисел, а их сумма равна 696 − k, поэтому среднее равно (696 − k)/(24 − m).
а) Возьмём числа 1, 40, …, 40. Их среднее равно 38,38, а после стирания единицы остаётся 23 числа по 40, среднее 40 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (24 − m)·40, и из m + (24 − m)·40 ≥ 696 получаем m ≤ 6.
При m = k = 6 среднее равно (696 − 6)/(24 − 6) = 38 1/3; такой набор существует: 6 единиц и числа 10, 40, 40, …, 40. Значение 35 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 38 1/3.
а) Возьмём числа 1, 40, …, 40. Их среднее равно 38,38, а после стирания единицы остаётся 23 числа по 40, среднее 40 — оно больше.
б)–в) Среднее оставшихся растёт с ростом m и убывает с ростом k, а k ≥ m, поэтому выгодно уменьшать только единицы: k = m. Единиц не может быть много: сумма всех чисел не больше m + (24 − m)·40, и из m + (24 − m)·40 ≥ 696 получаем m ≤ 6.
При m = k = 6 среднее равно (696 − 6)/(24 − 6) = 38 1/3; такой набор существует: 6 единиц и числа 10, 40, 40, …, 40. Значение 35 не достигается ни при каких допустимых m и k.
Ответ: 38 1/3.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.