Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Последовательность a1, a2, …, aₙ (n ≥ 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 6?
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 6?
Показать ответ
а) например, 2, 6, 9, 11, 12
б) да, например 1, 4, 6, 7, 7
в) 16; например, 1, 3, 4, 4, 3, 1
Решение
Неравенство aₖ > (aₖ₋1 + aₖ₊1)/2 равносильно aₖ − aₖ₋1 > aₖ₊1 − aₖ: разности соседних членов строго убывают. Все члены целые, поэтому 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 2, 6, 9, 11, 12 — сумма равна 40.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(6 − k) и сложим по k от 2 до 5. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 4:
2(a2 + … + a5) − 4(a1 + a6) ≥ 20.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 20 + 6(a1 + a6) ≥ 20 + 12, то есть T ≥ 16. Равенство достигается при a1 = a6 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(6 − k)/2, то есть 1, 3, 4, 4, 3, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 16.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 2, 6, 9, 11, 12 — сумма равна 40.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(6 − k) и сложим по k от 2 до 5. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 4:
2(a2 + … + a5) − 4(a1 + a6) ≥ 20.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 20 + 6(a1 + a6) ≥ 20 + 12, то есть T ≥ 16. Равенство достигается при a1 = a6 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(6 − k)/2, то есть 1, 3, 4, 4, 3, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 16.
Пример 2
Последовательность a1, a2, …, aₙ (n ≥ 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 40.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
Показать ответ
а) например, 2, 6, 9, 11, 12
б) да, например 1, 4, 6, 7, 7
в) 36; например, 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1
Решение
Неравенство aₖ > (aₖ₋1 + aₖ₊1)/2 равносильно aₖ − aₖ₋1 > aₖ₊1 − aₖ: разности соседних членов строго убывают. Все члены целые, поэтому 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 2, 6, 9, 11, 12 — сумма равна 40.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 2, 6, 9, 11, 12 — сумма равна 40.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
Пример 3
Последовательность a1, a2, …, aₙ (n ≥ 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 35.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 35.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
Показать ответ
а) например, 1, 5, 8, 10, 11
б) да, например 1, 4, 6, 7, 7
в) 36; например, 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1
Решение
Неравенство aₖ > (aₖ₋1 + aₖ₊1)/2 равносильно aₖ − aₖ₋1 > aₖ₊1 − aₖ: разности соседних членов строго убывают. Все члены целые, поэтому 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 1, 5, 8, 10, 11 — сумма равна 35.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 1, 5, 8, 10, 11 — сумма равна 35.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
Пример 4
Последовательность a1, a2, …, aₙ (n ≥ 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
Показать ответ
а) например, 4, 8, 11, 13, 14
б) да, например 1, 4, 6, 7, 7
в) 36; например, 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1
Решение
Неравенство aₖ > (aₖ₋1 + aₖ₊1)/2 равносильно aₖ − aₖ₋1 > aₖ₊1 − aₖ: разности соседних членов строго убывают. Все члены целые, поэтому 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 4, 8, 11, 13, 14 — сумма равна 50.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 4, 8, 11, 13, 14 — сумма равна 50.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
Пример 5
Последовательность a1, a2, …, aₙ (n ≥ 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?
Показать ответ
а) например, 6, 10, 13, 15, 16
б) да, например 1, 4, 6, 7, 7
в) 36; например, 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1
Решение
Неравенство aₖ > (aₖ₋1 + aₖ₊1)/2 равносильно aₖ − aₖ₋1 > aₖ₊1 − aₖ: разности соседних членов строго убывают. Все члены целые, поэтому 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 6, 10, 13, 15, 16 — сумма равна 60.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
а) Возьмём убывающие разности 4, 3, 2, 1: подходит 6, 10, 13, 15, 16 — сумма равна 60.
б) Разностям достаточно убывать, они могут быть и нулевыми: у последовательности 1, 4, 6, 7, 7 разности равны 3, 2, 1, 0, последние два члена одинаковы. Ответ: да.
в) Умножим неравенство 2aₖ − aₖ₋1 − aₖ₊1 ≥ 1 на вес wₖ = (k − 1)(8 − k) и сложим по k от 2 до 7. У веса вторая разность равна −2, поэтому коэффициент при каждом среднем члене равен 2, а при крайних — минус 6:
2(a2 + … + a7) − 6(a1 + a8) ≥ 56.
Если T — сумма всех членов, то отсюда 2T ≥ 56 + 8(a1 + a8) ≥ 56 + 16, то есть T ≥ 36. Равенство достигается при a1 = a8 = 1 и aₖ = 1 + (k − 1)(8 − k)/2, то есть 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1: все разности убывают ровно на единицу. Ответ: 36.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Концы нулевые: наименьший второй член7Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.