Средние арифметические набора — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 10?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 10?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
Показать ответ
а) нет: если наименьшее число равно 5, то 6 наименьших чисел различны и их сумма не меньше 5 + 6 + … + 10 = 45, а она должна равняться 6·7 = 42
б) нет: сумма всех чисел равна 6·7 + 6·15 − B = 132 − B, где B — шестое по величине число. Из 6 наименьших получаем B ≥ 10, из 6 наибольших — B ≤ 12. Значение 10 требует B = 132 − 11·10 = 22, что вне промежутка от 10 до 12
в) 1 1/11; достигается при B = 10, например на наборе 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 30
Решение
Обозначим через B шестое по величине число — оно входит и в 6 наименьших, и в 6 наибольших. Сумма всех чисел равна 67 + 615 − B = 132 − B, поэтому S = (132 − B)/11 и
S − B = 6(7 + 15 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 5, то сумма 6 наименьших не меньше 45 > 42 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 42, то есть B ≥ 10. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 90, то есть B ≤ 12. Среднее 10 потребовало бы B = 22 — вне этих границ.
в) При B = 10 получаем S − B = 1 1/11; пример набора: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 30.
Ответ: 1 1/11.
S − B = 6(7 + 15 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 5, то сумма 6 наименьших не меньше 45 > 42 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 42, то есть B ≥ 10. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 90, то есть B ≤ 12. Среднее 10 потребовало бы B = 22 — вне этих границ.
в) При B = 10 получаем S − B = 1 1/11; пример набора: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 30.
Ответ: 1 1/11.
Пример 2
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 6, а среднее арифметическое шести наибольших равно 16.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 4?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 10?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 4?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 10?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
Показать ответ
а) нет: если наименьшее число равно 4, то 6 наименьших чисел различны и их сумма не меньше 4 + 5 + … + 9 = 39, а она должна равняться 6·6 = 36
б) нет: сумма всех чисел равна 6·6 + 6·16 − B = 132 − B, где B — шестое по величине число. Из 6 наименьших получаем B ≥ 9, из 6 наибольших — B ≤ 13. Значение 10 требует B = 132 − 11·10 = 22, что вне промежутка от 9 до 13
в) 2 2/11; достигается при B = 9, например на наборе 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 41
Решение
Обозначим через B шестое по величине число — оно входит и в 6 наименьших, и в 6 наибольших. Сумма всех чисел равна 66 + 616 − B = 132 − B, поэтому S = (132 − B)/11 и
S − B = 6(6 + 16 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 4, то сумма 6 наименьших не меньше 39 > 36 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 36, то есть B ≥ 9. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 96, то есть B ≤ 13. Среднее 10 потребовало бы B = 22 — вне этих границ.
в) При B = 9 получаем S − B = 2 2/11; пример набора: 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 41.
Ответ: 2 2/11.
S − B = 6(6 + 16 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 4, то сумма 6 наименьших не меньше 39 > 36 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 36, то есть B ≥ 9. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 96, то есть B ≤ 13. Среднее 10 потребовало бы B = 22 — вне этих границ.
в) При B = 9 получаем S − B = 2 2/11; пример набора: 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 41.
Ответ: 2 2/11.
Пример 3
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 9?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 9?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
Показать ответ
а) нет: если наименьшее число равно 3, то 6 наименьших чисел различны и их сумма не меньше 3 + 4 + … + 8 = 33, а она должна равняться 6·5 = 30
б) нет: сумма всех чисел равна 6·5 + 6·15 − B = 120 − B, где B — шестое по величине число. Из 6 наименьших получаем B ≥ 8, из 6 наибольших — B ≤ 12. Значение 9 требует B = 120 − 11·9 = 21, что вне промежутка от 8 до 12
в) 2 2/11; достигается при B = 8, например на наборе 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40
Решение
Обозначим через B шестое по величине число — оно входит и в 6 наименьших, и в 6 наибольших. Сумма всех чисел равна 65 + 615 − B = 120 − B, поэтому S = (120 − B)/11 и
S − B = 6(5 + 15 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 3, то сумма 6 наименьших не меньше 33 > 30 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 30, то есть B ≥ 8. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 90, то есть B ≤ 12. Среднее 9 потребовало бы B = 21 — вне этих границ.
в) При B = 8 получаем S − B = 2 2/11; пример набора: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40.
Ответ: 2 2/11.
S − B = 6(5 + 15 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 3, то сумма 6 наименьших не меньше 33 > 30 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 30, то есть B ≥ 8. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 90, то есть B ≤ 12. Среднее 9 потребовало бы B = 21 — вне этих границ.
в) При B = 8 получаем S − B = 2 2/11; пример набора: 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 40.
Ответ: 2 2/11.
Пример 4
На доске написано 13 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое семи наибольших равно 13.
а) Может ли наименьшее из этих 13 чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 8?
в) Пусть B — седьмое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 13 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
а) Может ли наименьшее из этих 13 чисел равняться 3?
б) Может ли среднее арифметическое всех 13 чисел равняться 8?
в) Пусть B — седьмое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 13 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
Показать ответ
а) нет: если наименьшее число равно 3, то 7 наименьших чисел различны и их сумма не меньше 3 + 4 + … + 9 = 42, а она должна равняться 7·5 = 35
б) нет: сумма всех чисел равна 7·5 + 7·13 − B = 126 − B, где B — седьмое по величине число. Из 7 наименьших получаем B ≥ 8, из 7 наибольших — B ≤ 10. Значение 8 требует B = 126 − 13·8 = 22, что вне промежутка от 8 до 10
в) 1 1/13; достигается при B = 8, например на наборе 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 28
Решение
Обозначим через B седьмое по величине число — оно входит и в 7 наименьших, и в 7 наибольших. Сумма всех чисел равна 75 + 713 − B = 126 − B, поэтому S = (126 − B)/13 и
S − B = 7(5 + 13 − 2B)/13.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 3, то сумма 7 наименьших не меньше 42 > 35 — противоречие.
б) В нижней половине 7 различных чисел с наибольшим B, поэтому 7B − 21 ≥ 35, то есть B ≥ 8. В верхней половине 7 различных чисел с наименьшим B, поэтому 7B + 21 ≤ 91, то есть B ≤ 10. Среднее 8 потребовало бы B = 22 — вне этих границ.
в) При B = 8 получаем S − B = 1 1/13; пример набора: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 28.
Ответ: 1 1/13.
S − B = 7(5 + 13 − 2B)/13.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 3, то сумма 7 наименьших не меньше 42 > 35 — противоречие.
б) В нижней половине 7 различных чисел с наибольшим B, поэтому 7B − 21 ≥ 35, то есть B ≥ 8. В верхней половине 7 различных чисел с наименьшим B, поэтому 7B + 21 ≤ 91, то есть B ≤ 10. Среднее 8 потребовало бы B = 22 — вне этих границ.
в) При B = 8 получаем S − B = 1 1/13; пример набора: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 28.
Ответ: 1 1/13.
Пример 5
На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 7, а среднее арифметическое шести наибольших равно 17.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 11?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
а) Может ли наименьшее из этих 11 чисел равняться 5?
б) Может ли среднее арифметическое всех 11 чисел равняться 11?
в) Пусть B — шестое по величине число, а S — среднее арифметическое всех 11 чисел. Найдите наибольшее значение выражения S − B.
Показать ответ
а) нет: если наименьшее число равно 5, то 6 наименьших чисел различны и их сумма не меньше 5 + 6 + … + 10 = 45, а она должна равняться 6·7 = 42
б) нет: сумма всех чисел равна 6·7 + 6·17 − B = 144 − B, где B — шестое по величине число. Из 6 наименьших получаем B ≥ 10, из 6 наибольших — B ≤ 14. Значение 11 требует B = 144 − 11·11 = 23, что вне промежутка от 10 до 14
в) 2 2/11; достигается при B = 10, например на наборе 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 42
Решение
Обозначим через B шестое по величине число — оно входит и в 6 наименьших, и в 6 наибольших. Сумма всех чисел равна 67 + 617 − B = 144 − B, поэтому S = (144 − B)/11 и
S − B = 6(7 + 17 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 5, то сумма 6 наименьших не меньше 45 > 42 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 42, то есть B ≥ 10. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 102, то есть B ≤ 14. Среднее 11 потребовало бы B = 23 — вне этих границ.
в) При B = 10 получаем S − B = 2 2/11; пример набора: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 42.
Ответ: 2 2/11.
S − B = 6(7 + 17 − 2B)/11.
Это выражение убывает с ростом B, поэтому нужно наименьшее возможное B.
а) Если наименьшее число равно 5, то сумма 6 наименьших не меньше 45 > 42 — противоречие.
б) В нижней половине 6 различных чисел с наибольшим B, поэтому 6B − 15 ≥ 42, то есть B ≥ 10. В верхней половине 6 различных чисел с наименьшим B, поэтому 6B + 15 ≤ 102, то есть B ≤ 14. Среднее 11 потребовало бы B = 23 — вне этих границ.
в) При B = 10 получаем S − B = 2 2/11; пример набора: 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 42.
Ответ: 2 2/11.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.