Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄ — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим S1 = a1 + a2 + … + a350, S2 = a12 + a22 + … + a3502, S3 = a13 + a23 + … + a3503, S4 = a14 + a24 + … + a3504. Известно, что S1 = 553.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1167, S3 = 3187.
б) Может ли S4 = 4577?
в) Пусть S4 = 4545. Найдите все значения, которые может принимать S2.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1167, S3 = 3187.
б) Может ли S4 = 4577?
в) Пусть S4 = 4545. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Показать ответ
а) 10275
б) нет: S₄ = 3395 + 50n₃ + 210n₄, поэтому разность S₄ − 3395 делится на 10, а 4577 − 3395 = 1182 на 10 не делится
в) 993 и 1005
Решение
Пусть nᵢ — количество чисел, равных i. Тогда n1 + n2 + n3 + n4 = 350 и n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 = 553, откуда n2 + 2n3 + 3n4 = 203. Выражая n1 и n2 через n3 и n4, получаем
S2 = 959 + 2n3 + 6n4, S3 = 1771 + 12n3 + 42n4, S4 = 3395 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1167 и S3 = 3187 получаем систему 2n3 + 6n4 = 208, 12n3 + 42n4 = 1416; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 20, n4 = 28 (и n2 = 79, n1 = 223). Тогда S4 = 3395 + 50·20 + 210·28 = 10275.
б) Разность S4 − 3395 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 4577 − 3395 = 1182 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 4545 следует 50n3 + 210n4 = 1150, то есть 5n3 + 21n4 = 115. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 23 и n4 = 5, n3 = 2. Соответственно S2 = 959 + 2n3 + 6n4 равно 1005 и 993. Ответ: 993 и 1005.
S2 = 959 + 2n3 + 6n4, S3 = 1771 + 12n3 + 42n4, S4 = 3395 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1167 и S3 = 3187 получаем систему 2n3 + 6n4 = 208, 12n3 + 42n4 = 1416; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 20, n4 = 28 (и n2 = 79, n1 = 223). Тогда S4 = 3395 + 50·20 + 210·28 = 10275.
б) Разность S4 − 3395 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 4577 − 3395 = 1182 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 4545 следует 50n3 + 210n4 = 1150, то есть 5n3 + 21n4 = 115. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 23 и n4 = 5, n3 = 2. Соответственно S2 = 959 + 2n3 + 6n4 равно 1005 и 993. Ответ: 993 и 1005.
Пример 2
Каждое из чисел a1, a2, …, a360 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим S1 = a1 + a2 + … + a360, S2 = a12 + a22 + … + a3602, S3 = a13 + a23 + … + a3603, S4 = a14 + a24 + … + a3604. Известно, что S1 = 713.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1815, S3 = 5549.
б) Может ли S4 = 7467?
в) Пусть S4 = 7455. Найдите все значения, которые может принимать S2.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1815, S3 = 5549.
б) Может ли S4 = 7467?
в) Пусть S4 = 7455. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Показать ответ
а) 18975
б) нет: S₄ = 5655 + 50n₃ + 210n₄, поэтому разность S₄ − 5655 делится на 10, а 7467 − 5655 = 1812 на 10 не делится
в) 1479 и 1491
Решение
Пусть nᵢ — количество чисел, равных i. Тогда n1 + n2 + n3 + n4 = 360 и n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 = 713, откуда n2 + 2n3 + 3n4 = 353. Выражая n1 и n2 через n3 и n4, получаем
S2 = 1419 + 2n3 + 6n4, S3 = 2831 + 12n3 + 42n4, S4 = 5655 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1815 и S3 = 5549 получаем систему 2n3 + 6n4 = 396, 12n3 + 42n4 = 2718; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 27, n4 = 57 (и n2 = 128, n1 = 148). Тогда S4 = 5655 + 50·27 + 210·57 = 18975.
б) Разность S4 − 5655 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 7467 − 5655 = 1812 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 7455 следует 50n3 + 210n4 = 1800, то есть 5n3 + 21n4 = 180. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 36 и n4 = 5, n3 = 15. Соответственно S2 = 1419 + 2n3 + 6n4 равно 1491 и 1479. Ответ: 1479 и 1491.
S2 = 1419 + 2n3 + 6n4, S3 = 2831 + 12n3 + 42n4, S4 = 5655 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1815 и S3 = 5549 получаем систему 2n3 + 6n4 = 396, 12n3 + 42n4 = 2718; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 27, n4 = 57 (и n2 = 128, n1 = 148). Тогда S4 = 5655 + 50·27 + 210·57 = 18975.
б) Разность S4 − 5655 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 7467 − 5655 = 1812 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 7455 следует 50n3 + 210n4 = 1800, то есть 5n3 + 21n4 = 180. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 36 и n4 = 5, n3 = 15. Соответственно S2 = 1419 + 2n3 + 6n4 равно 1491 и 1479. Ответ: 1479 и 1491.
Пример 3
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим S1 = a1 + a2 + … + a350, S2 = a12 + a22 + … + a3502, S3 = a13 + a23 + … + a3503, S4 = a14 + a24 + … + a3504. Известно, что S1 = 625.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1381, S3 = 3649.
б) Может ли S4 = 6587?
в) Пусть S4 = 6525. Найдите все значения, которые может принимать S2.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1381, S3 = 3649.
б) Может ли S4 = 6587?
в) Пусть S4 = 6525. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Показать ответ
а) 11005
б) нет: S₄ = 4475 + 50n₃ + 210n₄, поэтому разность S₄ − 4475 делится на 10, а 6587 − 4475 = 2112 на 10 не делится
в) 1245 и 1257
Решение
Пусть nᵢ — количество чисел, равных i. Тогда n1 + n2 + n3 + n4 = 350 и n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 = 625, откуда n2 + 2n3 + 3n4 = 275. Выражая n1 и n2 через n3 и n4, получаем
S2 = 1175 + 2n3 + 6n4, S3 = 2275 + 12n3 + 42n4, S4 = 4475 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1381 и S3 = 3649 получаем систему 2n3 + 6n4 = 206, 12n3 + 42n4 = 1374; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 34, n4 = 23 (и n2 = 138, n1 = 155). Тогда S4 = 4475 + 50·34 + 210·23 = 11005.
б) Разность S4 − 4475 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 6587 − 4475 = 2112 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 6525 следует 50n3 + 210n4 = 2050, то есть 5n3 + 21n4 = 205. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 41 и n4 = 5, n3 = 20. Соответственно S2 = 1175 + 2n3 + 6n4 равно 1257 и 1245. Ответ: 1245 и 1257.
S2 = 1175 + 2n3 + 6n4, S3 = 2275 + 12n3 + 42n4, S4 = 4475 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1381 и S3 = 3649 получаем систему 2n3 + 6n4 = 206, 12n3 + 42n4 = 1374; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 34, n4 = 23 (и n2 = 138, n1 = 155). Тогда S4 = 4475 + 50·34 + 210·23 = 11005.
б) Разность S4 − 4475 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 6587 − 4475 = 2112 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 6525 следует 50n3 + 210n4 = 2050, то есть 5n3 + 21n4 = 205. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 41 и n4 = 5, n3 = 20. Соответственно S2 = 1175 + 2n3 + 6n4 равно 1257 и 1245. Ответ: 1245 и 1257.
Пример 4
Каждое из чисел a1, a2, …, a400 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим S1 = a1 + a2 + … + a400, S2 = a12 + a22 + … + a4002, S3 = a13 + a23 + … + a4003, S4 = a14 + a24 + … + a4004. Известно, что S1 = 609.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1265, S3 = 3483.
б) Может ли S4 = 4967?
в) Пусть S4 = 4935. Найдите все значения, которые может принимать S2.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 1265, S3 = 3483.
б) Может ли S4 = 4967?
в) Пусть S4 = 4935. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Показать ответ
а) 11405
б) нет: S₄ = 3535 + 50n₃ + 210n₄, поэтому разность S₄ − 3535 делится на 10, а 4967 − 3535 = 1432 на 10 не делится
в) 1071 и 1083
Решение
Пусть nᵢ — количество чисел, равных i. Тогда n1 + n2 + n3 + n4 = 400 и n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 = 609, откуда n2 + 2n3 + 3n4 = 209. Выражая n1 и n2 через n3 и n4, получаем
S2 = 1027 + 2n3 + 6n4, S3 = 1863 + 12n3 + 42n4, S4 = 3535 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1265 и S3 = 3483 получаем систему 2n3 + 6n4 = 238, 12n3 + 42n4 = 1620; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 23, n4 = 32 (и n2 = 67, n1 = 278). Тогда S4 = 3535 + 50·23 + 210·32 = 11405.
б) Разность S4 − 3535 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 4967 − 3535 = 1432 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 4935 следует 50n3 + 210n4 = 1400, то есть 5n3 + 21n4 = 140. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 28 и n4 = 5, n3 = 7. Соответственно S2 = 1027 + 2n3 + 6n4 равно 1083 и 1071. Ответ: 1071 и 1083.
S2 = 1027 + 2n3 + 6n4, S3 = 1863 + 12n3 + 42n4, S4 = 3535 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 1265 и S3 = 3483 получаем систему 2n3 + 6n4 = 238, 12n3 + 42n4 = 1620; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 23, n4 = 32 (и n2 = 67, n1 = 278). Тогда S4 = 3535 + 50·23 + 210·32 = 11405.
б) Разность S4 − 3535 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 4967 − 3535 = 1432 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 4935 следует 50n3 + 210n4 = 1400, то есть 5n3 + 21n4 = 140. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 28 и n4 = 5, n3 = 7. Соответственно S2 = 1027 + 2n3 + 6n4 равно 1083 и 1071. Ответ: 1071 и 1083.
Пример 5
Каждое из чисел a1, a2, …, a320 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим S1 = a1 + a2 + … + a320, S2 = a12 + a22 + … + a3202, S3 = a13 + a23 + … + a3203, S4 = a14 + a24 + … + a3204. Известно, что S1 = 499.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 975, S3 = 2365.
б) Может ли S4 = 4517?
в) Пусть S4 = 4455. Найдите все значения, которые может принимать S2.
а) Найдите S4, если ещё известно, что S2 = 975, S3 = 2365.
б) Может ли S4 = 4517?
в) Пусть S4 = 4455. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Показать ответ
а) 6795
б) нет: S₄ = 3005 + 50n₃ + 210n₄, поэтому разность S₄ − 3005 делится на 10, а 4517 − 3005 = 1512 на 10 не делится
в) 903 и 915
Решение
Пусть nᵢ — количество чисел, равных i. Тогда n1 + n2 + n3 + n4 = 320 и n1 + 2n2 + 3n3 + 4n4 = 499, откуда n2 + 2n3 + 3n4 = 179. Выражая n1 и n2 через n3 и n4, получаем
S2 = 857 + 2n3 + 6n4, S3 = 1573 + 12n3 + 42n4, S4 = 3005 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 975 и S3 = 2365 получаем систему 2n3 + 6n4 = 118, 12n3 + 42n4 = 792; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 17, n4 = 14 (и n2 = 103, n1 = 186). Тогда S4 = 3005 + 50·17 + 210·14 = 6795.
б) Разность S4 − 3005 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 4517 − 3005 = 1512 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 4455 следует 50n3 + 210n4 = 1450, то есть 5n3 + 21n4 = 145. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 29 и n4 = 5, n3 = 8. Соответственно S2 = 857 + 2n3 + 6n4 равно 915 и 903. Ответ: 903 и 915.
S2 = 857 + 2n3 + 6n4, S3 = 1573 + 12n3 + 42n4, S4 = 3005 + 50n3 + 210n4.
а) Из S2 = 975 и S3 = 2365 получаем систему 2n3 + 6n4 = 118, 12n3 + 42n4 = 792; её определитель равен 2·42 − 6·12 = 12 ≠ 0, поэтому n3 = 17, n4 = 14 (и n2 = 103, n1 = 186). Тогда S4 = 3005 + 50·17 + 210·14 = 6795.
б) Разность S4 − 3005 = 50n3 + 210n4 всегда делится на 10, а 4517 − 3005 = 1512 — нет. Ответ: нет.
в) Из S4 = 4455 следует 50n3 + 210n4 = 1450, то есть 5n3 + 21n4 = 145. Значит 21n4 делится на 5, то есть n4 кратно 5; при n4 ≥ 10 левая часть уже больше правой. Остаются n4 = 0, n3 = 29 и n4 = 5, n3 = 8. Соответственно S2 = 857 + 2n3 + 6n4 равно 915 и 903. Ответ: 903 и 915.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.