Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 18 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
Показать ответ
а) да, например {4, 5, 6, 7, 8, 9, 18} — среднее 8 1/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2
б) нет: если все три средних равны m, то сумма чисел каждой группы равна m·(число элементов), а сумма всех чисел равна 63, поэтому 10m = 63 и m = 6,3. Но тогда сумма группы из k чисел равна 6,3k и обязана быть целой, что при k < 10 невозможно, а групп три и в каждой меньше 10 чисел
в) 6 1/3; например {1, 2, 3, 5, 9, 18} — среднее 6 1/3; {4, 7, 8} — среднее 6 1/3; {6} — среднее 6
Решение
а) Пример: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 18} — среднее 8 1/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 63, откуда 10m = 63 и m = 6,3. Сумма каждой группы целая, поэтому 6,3k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 6 1/3; оно достигается на разбиении {1, 2, 3, 5, 9, 18} — среднее 6 1/3; {4, 7, 8} — среднее 6 1/3; {6} — среднее 6.
Ответ: 6 1/3.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 63, откуда 10m = 63 и m = 6,3. Сумма каждой группы целая, поэтому 6,3k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 6 1/3; оно достигается на разбиении {1, 2, 3, 5, 9, 18} — среднее 6 1/3; {4, 7, 8} — среднее 6 1/3; {6} — среднее 6.
Ответ: 6 1/3.
Пример 2
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
Показать ответ
а) да, например {4, 5, 6, 7, 8, 9, 14} — среднее 7 4/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2
б) нет: если все три средних равны m, то сумма чисел каждой группы равна m·(число элементов), а сумма всех чисел равна 59, поэтому 10m = 59 и m = 5,9. Но тогда сумма группы из k чисел равна 5,9k и обязана быть целой, что при k < 10 невозможно, а групп три и в каждой меньше 10 чисел
в) 6; например {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14} — среднее 6; {6} — среднее 6; {5} — среднее 5
Решение
а) Пример: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 14} — среднее 7 4/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 59, откуда 10m = 59 и m = 5,9. Сумма каждой группы целая, поэтому 5,9k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 6; оно достигается на разбиении {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14} — среднее 6; {6} — среднее 6; {5} — среднее 5.
Ответ: 6.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 59, откуда 10m = 59 и m = 5,9. Сумма каждой группы целая, поэтому 5,9k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 6; оно достигается на разбиении {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14} — среднее 6; {6} — среднее 6; {5} — среднее 5.
Ответ: 6.
Пример 3
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
Показать ответ
а) да, например {4, 5, 6, 7, 8, 9, 16} — среднее 7 6/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2
б) нет: если все три средних равны m, то сумма чисел каждой группы равна m·(число элементов), а сумма всех чисел равна 61, поэтому 10m = 61 и m = 6,1. Но тогда сумма группы из k чисел равна 6,1k и обязана быть целой, что при k < 10 невозможно, а групп три и в каждой меньше 10 чисел
в) 6 1/7; например {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16} — среднее 6 1/7; {5, 7} — среднее 6; {6} — среднее 6
Решение
а) Пример: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 16} — среднее 7 6/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 61, откуда 10m = 61 и m = 6,1. Сумма каждой группы целая, поэтому 6,1k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 6 1/7; оно достигается на разбиении {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16} — среднее 6 1/7; {5, 7} — среднее 6; {6} — среднее 6.
Ответ: 6 1/7.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 61, откуда 10m = 61 и m = 6,1. Сумма каждой группы целая, поэтому 6,1k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 6 1/7; оно достигается на разбиении {1, 2, 3, 4, 8, 9, 16} — среднее 6 1/7; {5, 7} — среднее 6; {6} — среднее 6.
Ответ: 6 1/7.
Пример 4
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
Показать ответ
а) да, например {4, 5, 6, 7, 8, 9, 12} — среднее 7 2/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2
б) нет: если все три средних равны m, то сумма чисел каждой группы равна m·(число элементов), а сумма всех чисел равна 57, поэтому 10m = 57 и m = 5,7. Но тогда сумма группы из k чисел равна 5,7k и обязана быть целой, что при k < 10 невозможно, а групп три и в каждой меньше 10 чисел
в) 5 3/4; например {1, 2, 8, 12} — среднее 5 3/4; {3, 4, 7, 9} — среднее 5 3/4; {5, 6} — среднее 5 1/2
Решение
а) Пример: {4, 5, 6, 7, 8, 9, 12} — среднее 7 2/7; {1, 3} — среднее 2; {2} — среднее 2.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 57, откуда 10m = 57 и m = 5,7. Сумма каждой группы целая, поэтому 5,7k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 5 3/4; оно достигается на разбиении {1, 2, 8, 12} — среднее 5 3/4; {3, 4, 7, 9} — среднее 5 3/4; {5, 6} — среднее 5 1/2.
Ответ: 5 3/4.
б) Пусть все три средних равны m. Тогда сумма чисел в группе из k элементов равна mk, а сумма всех десяти чисел равна 57, откуда 10m = 57 и m = 5,7. Сумма каждой группы целая, поэтому 5,7k должно быть целым, то есть k кратно 10. Но в каждой из трёх непустых групп меньше десяти чисел — противоречие.
в) Перебор разбиений показывает, что наименьшее возможное значение наибольшего среднего равно 5 3/4; оно достигается на разбиении {1, 2, 8, 12} — среднее 5 3/4; {3, 4, 7, 9} — среднее 5 3/4; {5, 6} — среднее 5 1/2.
Ответ: 5 3/4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.