Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Последовательности с рекуррентным ограничением. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Про возрастающую последовательность из десяти различных натуральных чисел известно, что каждый член последовательности больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое пяти первых членов равно 6, а среднее арифметическое шести последних членов равно 36.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 4,5.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 5,5?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 4,5.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 5,5?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
Показать ответ
а) например, 3, 4, 5, 6, 12, 22, 32, 42, 52, 56
б) нет: тогда a₅ = 30 − 22 = 8, а из a₅ + … + a₁₀ = 216 и шага не больше 10 следует 6a₅ + 150 ≥ 216, то есть a₅ ≥ 11
в) 23,5; например, 3, 4, 5, 7, 11, 21, 31, 41, 51, 61
Решение
Сумма пяти первых членов равна 30, сумма шести последних — 216; общий у этих групп только член a5, поэтому сумма всех десяти членов равна 30 + 216 − a5 = 246 − a5. Кроме того a1 + a2 + a3 + a4 = 30 − a5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
216 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 11.
а) Среднее четырёх первых равно 4,5 ⟺ их сумма равна 18 ⟺ a5 = 30 − 18 = 12. Подходит 3, 4, 5, 6, 12, 22, 32, 42, 52, 56.
б) Среднее 5,5 означало бы сумму 22 и a5 = 8 < 11, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (246 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 11. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 11, 21, 31, 41, 51, 61, а четыре первых дают сумму 19, например 3, 4, 5, 7. Среднее равно 235/10 = 23,5. Ответ: 23,5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
216 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 11.
а) Среднее четырёх первых равно 4,5 ⟺ их сумма равна 18 ⟺ a5 = 30 − 18 = 12. Подходит 3, 4, 5, 6, 12, 22, 32, 42, 52, 56.
б) Среднее 5,5 означало бы сумму 22 и a5 = 8 < 11, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (246 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 11. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 11, 21, 31, 41, 51, 61, а четыре первых дают сумму 19, например 3, 4, 5, 7. Среднее равно 235/10 = 23,5. Ответ: 23,5.
Пример 2
Про возрастающую последовательность из десяти различных натуральных чисел известно, что каждый член последовательности больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое пяти первых членов равно 14, а среднее арифметическое шести последних членов равно 42.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 13.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 14?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 13.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 14?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
Показать ответ
а) например, 11, 12, 14, 15, 18, 28, 38, 48, 58, 62
б) нет: тогда a₅ = 70 − 56 = 14, а из a₅ + … + a₁₀ = 252 и шага не больше 10 следует 6a₅ + 150 ≥ 252, то есть a₅ ≥ 17
в) 30,5; например, 11, 13, 14, 15, 17, 27, 37, 47, 57, 67
Решение
Сумма пяти первых членов равна 70, сумма шести последних — 252; общий у этих групп только член a5, поэтому сумма всех десяти членов равна 70 + 252 − a5 = 322 − a5. Кроме того a1 + a2 + a3 + a4 = 70 − a5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
252 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 17.
а) Среднее четырёх первых равно 13 ⟺ их сумма равна 52 ⟺ a5 = 70 − 52 = 18. Подходит 11, 12, 14, 15, 18, 28, 38, 48, 58, 62.
б) Среднее 14 означало бы сумму 56 и a5 = 14 < 17, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (322 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 17. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 17, 27, 37, 47, 57, 67, а четыре первых дают сумму 53, например 11, 13, 14, 15. Среднее равно 305/10 = 30,5. Ответ: 30,5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
252 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 17.
а) Среднее четырёх первых равно 13 ⟺ их сумма равна 52 ⟺ a5 = 70 − 52 = 18. Подходит 11, 12, 14, 15, 18, 28, 38, 48, 58, 62.
б) Среднее 14 означало бы сумму 56 и a5 = 14 < 17, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (322 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 17. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 17, 27, 37, 47, 57, 67, а четыре первых дают сумму 53, например 11, 13, 14, 15. Среднее равно 305/10 = 30,5. Ответ: 30,5.
Пример 3
Про возрастающую последовательность из десяти различных натуральных чисел известно, что каждый член последовательности больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое пяти первых членов равно 8, а среднее арифметическое шести последних членов равно 36.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 7.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 8?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 7.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 8?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
Показать ответ
а) например, 5, 6, 8, 9, 12, 22, 32, 42, 52, 56
б) нет: тогда a₅ = 40 − 32 = 8, а из a₅ + … + a₁₀ = 216 и шага не больше 10 следует 6a₅ + 150 ≥ 216, то есть a₅ ≥ 11
в) 24,5; например, 5, 7, 8, 9, 11, 21, 31, 41, 51, 61
Решение
Сумма пяти первых членов равна 40, сумма шести последних — 216; общий у этих групп только член a5, поэтому сумма всех десяти членов равна 40 + 216 − a5 = 256 − a5. Кроме того a1 + a2 + a3 + a4 = 40 − a5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
216 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 11.
а) Среднее четырёх первых равно 7 ⟺ их сумма равна 28 ⟺ a5 = 40 − 28 = 12. Подходит 5, 6, 8, 9, 12, 22, 32, 42, 52, 56.
б) Среднее 8 означало бы сумму 32 и a5 = 8 < 11, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (256 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 11. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 11, 21, 31, 41, 51, 61, а четыре первых дают сумму 29, например 5, 7, 8, 9. Среднее равно 245/10 = 24,5. Ответ: 24,5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
216 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 11.
а) Среднее четырёх первых равно 7 ⟺ их сумма равна 28 ⟺ a5 = 40 − 28 = 12. Подходит 5, 6, 8, 9, 12, 22, 32, 42, 52, 56.
б) Среднее 8 означало бы сумму 32 и a5 = 8 < 11, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (256 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 11. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 11, 21, 31, 41, 51, 61, а четыре первых дают сумму 29, например 5, 7, 8, 9. Среднее равно 245/10 = 24,5. Ответ: 24,5.
Пример 4
Про возрастающую последовательность из десяти различных натуральных чисел известно, что каждый член последовательности больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое пяти первых членов равно 12, а среднее арифметическое шести последних членов равно 40.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 11.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 11.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 12?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
Показать ответ
а) например, 9, 10, 12, 13, 16, 26, 36, 46, 56, 60
б) нет: тогда a₅ = 60 − 48 = 12, а из a₅ + … + a₁₀ = 240 и шага не больше 10 следует 6a₅ + 150 ≥ 240, то есть a₅ ≥ 15
в) 28,5; например, 9, 11, 12, 13, 15, 25, 35, 45, 55, 65
Решение
Сумма пяти первых членов равна 60, сумма шести последних — 240; общий у этих групп только член a5, поэтому сумма всех десяти членов равна 60 + 240 − a5 = 300 − a5. Кроме того a1 + a2 + a3 + a4 = 60 − a5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
240 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 15.
а) Среднее четырёх первых равно 11 ⟺ их сумма равна 44 ⟺ a5 = 60 − 44 = 16. Подходит 9, 10, 12, 13, 16, 26, 36, 46, 56, 60.
б) Среднее 12 означало бы сумму 48 и a5 = 12 < 15, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (300 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 15. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 15, 25, 35, 45, 55, 65, а четыре первых дают сумму 45, например 9, 11, 12, 13. Среднее равно 285/10 = 28,5. Ответ: 28,5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
240 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 15.
а) Среднее четырёх первых равно 11 ⟺ их сумма равна 44 ⟺ a5 = 60 − 44 = 16. Подходит 9, 10, 12, 13, 16, 26, 36, 46, 56, 60.
б) Среднее 12 означало бы сумму 48 и a5 = 12 < 15, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (300 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 15. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 15, 25, 35, 45, 55, 65, а четыре первых дают сумму 45, например 9, 11, 12, 13. Среднее равно 285/10 = 28,5. Ответ: 28,5.
Пример 5
Про возрастающую последовательность из десяти различных натуральных чисел известно, что каждый член последовательности больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое пяти первых членов равно 8, а среднее арифметическое шести последних членов равно 40.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 6.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 7?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой среднее арифметическое четырёх первых членов равно 6.
б) Может ли в такой последовательности среднее арифметическое четырёх первых членов быть равно 7?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического всех членов такой последовательности.
Показать ответ
а) например, 4, 5, 7, 8, 16, 26, 36, 46, 56, 60
б) нет: тогда a₅ = 40 − 28 = 12, а из a₅ + … + a₁₀ = 240 и шага не больше 10 следует 6a₅ + 150 ≥ 240, то есть a₅ ≥ 15
в) 26,5; например, 4, 6, 7, 8, 15, 25, 35, 45, 55, 65
Решение
Сумма пяти первых членов равна 40, сумма шести последних — 240; общий у этих групп только член a5, поэтому сумма всех десяти членов равна 40 + 240 − a5 = 280 − a5. Кроме того a1 + a2 + a3 + a4 = 40 − a5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
240 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 15.
а) Среднее четырёх первых равно 6 ⟺ их сумма равна 24 ⟺ a5 = 40 − 24 = 16. Подходит 4, 5, 7, 8, 16, 26, 36, 46, 56, 60.
б) Среднее 7 означало бы сумму 28 и a5 = 12 < 15, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (280 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 15. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 15, 25, 35, 45, 55, 65, а четыре первых дают сумму 25, например 4, 6, 7, 8. Среднее равно 265/10 = 26,5. Ответ: 26,5.
Оценим a5 снизу. Каждый следующий член больше предыдущего не более чем на 10, поэтому a5₊ᵢ ≤ a5 + 10i и
240 = a5 + … + a10 ≤ 6a5 + 10·(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6a5 + 150,
откуда a5 ≥ 15.
а) Среднее четырёх первых равно 6 ⟺ их сумма равна 24 ⟺ a5 = 40 − 24 = 16. Подходит 4, 5, 7, 8, 16, 26, 36, 46, 56, 60.
б) Среднее 7 означало бы сумму 28 и a5 = 12 < 15, что противоречит оценке. Ответ: нет.
в) Среднее всех членов равно (280 − a5)/10 и максимально при наименьшем a5 = 15. Тогда в неравенстве достигается равенство: шесть последних членов идут с шагом ровно 10 — 15, 25, 35, 45, 55, 65, а четыре первых дают сумму 25, например 4, 6, 7, 8. Среднее равно 265/10 = 26,5. Ответ: 26,5.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах6Концы нулевые: наименьший второй член7Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄8Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.