Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Средние арифметические набора. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 8, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −7.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Показать ответ
а) 49: если положительных p, отрицательных q, то сумма всех чисел равна 14p − 7q = 7(2p − q) и одновременно 8n, поэтому 7·(2p − q) = 8n; числа 7 и 8 взаимно просты, значит n делится на 7, а между 42 и 56 такое число одно — это 49
б) положительных: из 7(2p − q) = 8·49 следует 2p − q = 56, то есть q = 2p − 56; так как нулей не может быть меньше нуля, p ≤ 35, и тогда p − q = 56 − p ≥ 21 > 0
в) 35; например 35 положительных чисел со средним 14, 14 отрицательных со средним −7; больше нельзя — количество нулей 49 − p − q = 49 + 56 − 3p неотрицательно, откуда p ≤ 35
Решение
Пусть на доске p положительных, q отрицательных чисел и z нулей, всего n = p + q + z.
Сумма всех чисел равна 14p − 7q = 7(2p − q), и она же равна 8n. Значит 7(2p − q) = 8n; так как НОД(7, 8) = 1, число n делится на 7. Между 42 и 56 есть ровно одно такое число — 49.
Подставляя n = 49, получаем 2p − q = 56, то есть q = 2p − 56, а z = 49 − p − q = 49 + 56 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 35.
При этом p − q = 56 − p ≥ 21 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 35.
Сумма всех чисел равна 14p − 7q = 7(2p − q), и она же равна 8n. Значит 7(2p − q) = 8n; так как НОД(7, 8) = 1, число n делится на 7. Между 42 и 56 есть ровно одно такое число — 49.
Подставляя n = 49, получаем 2p − q = 56, то есть q = 2p − 56, а z = 49 − p − q = 49 + 56 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 35.
При этом p − q = 56 − p ≥ 21 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 35.
Пример 2
На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 12, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −6.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Показать ответ
а) 42: если положительных p, отрицательных q, то сумма всех чисел равна 12p − 6q = 6(2p − q) и одновременно 5n, поэтому 6·(2p − q) = 5n; числа 6 и 5 взаимно просты, значит n делится на 6, а между 36 и 48 такое число одно — это 42
б) положительных: из 6(2p − q) = 5·42 следует 2p − q = 35, то есть q = 2p − 35; так как нулей не может быть меньше нуля, p ≤ 25, и тогда p − q = 35 − p ≥ 10 > 0
в) 25; например 25 положительных чисел со средним 12, 15 отрицательных со средним −6 и 2 нуля; больше нельзя — количество нулей 42 − p − q = 42 + 35 − 3p неотрицательно, откуда p ≤ 25
Решение
Пусть на доске p положительных, q отрицательных чисел и z нулей, всего n = p + q + z.
Сумма всех чисел равна 12p − 6q = 6(2p − q), и она же равна 5n. Значит 6(2p − q) = 5n; так как НОД(6, 5) = 1, число n делится на 6. Между 36 и 48 есть ровно одно такое число — 42.
Подставляя n = 42, получаем 2p − q = 35, то есть q = 2p − 35, а z = 42 − p − q = 42 + 35 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 25.
При этом p − q = 35 − p ≥ 10 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 25.
Сумма всех чисел равна 12p − 6q = 6(2p − q), и она же равна 5n. Значит 6(2p − q) = 5n; так как НОД(6, 5) = 1, число n делится на 6. Между 36 и 48 есть ровно одно такое число — 42.
Подставляя n = 42, получаем 2p − q = 35, то есть q = 2p − 35, а z = 42 − p − q = 42 + 35 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 25.
При этом p − q = 35 − p ≥ 10 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 25.
Пример 3
На доске написано более 20, но менее 28 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 8, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −4.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Показать ответ
а) 24: если положительных p, отрицательных q, то сумма всех чисел равна 8p − 4q = 4(2p − q) и одновременно 7n, поэтому 4·(2p − q) = 7n; числа 4 и 7 взаимно просты, значит n делится на 4, а между 20 и 28 такое число одно — это 24
б) положительных: из 4(2p − q) = 7·24 следует 2p − q = 42, то есть q = 2p − 42; так как нулей не может быть меньше нуля, p ≤ 22, и тогда p − q = 42 − p ≥ 20 > 0
в) 22; например 22 положительных числа со средним 8, 2 отрицательных со средним −4; больше нельзя — количество нулей 24 − p − q = 24 + 42 − 3p неотрицательно, откуда p ≤ 22
Решение
Пусть на доске p положительных, q отрицательных чисел и z нулей, всего n = p + q + z.
Сумма всех чисел равна 8p − 4q = 4(2p − q), и она же равна 7n. Значит 4(2p − q) = 7n; так как НОД(4, 7) = 1, число n делится на 4. Между 20 и 28 есть ровно одно такое число — 24.
Подставляя n = 24, получаем 2p − q = 42, то есть q = 2p − 42, а z = 24 − p − q = 24 + 42 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 22.
При этом p − q = 42 − p ≥ 20 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 22.
Сумма всех чисел равна 8p − 4q = 4(2p − q), и она же равна 7n. Значит 4(2p − q) = 7n; так как НОД(4, 7) = 1, число n делится на 4. Между 20 и 28 есть ровно одно такое число — 24.
Подставляя n = 24, получаем 2p − q = 42, то есть q = 2p − 42, а z = 24 − p − q = 24 + 42 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 22.
При этом p − q = 42 − p ≥ 20 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 22.
Пример 4
На доске написано более 36, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −9.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Показать ответ
а) 45: если положительных p, отрицательных q, то сумма всех чисел равна 18p − 9q = 9(2p − q) и одновременно 5n, поэтому 9·(2p − q) = 5n; числа 9 и 5 взаимно просты, значит n делится на 9, а между 36 и 54 такое число одно — это 45
б) положительных: из 9(2p − q) = 5·45 следует 2p − q = 25, то есть q = 2p − 25; так как нулей не может быть меньше нуля, p ≤ 23, и тогда p − q = 25 − p ≥ 2 > 0
в) 23; например 23 положительных числа со средним 18, 21 отрицательное со средним −9 и 1 нуль; больше нельзя — количество нулей 45 − p − q = 45 + 25 − 3p неотрицательно, откуда p ≤ 23
Решение
Пусть на доске p положительных, q отрицательных чисел и z нулей, всего n = p + q + z.
Сумма всех чисел равна 18p − 9q = 9(2p − q), и она же равна 5n. Значит 9(2p − q) = 5n; так как НОД(9, 5) = 1, число n делится на 9. Между 36 и 54 есть ровно одно такое число — 45.
Подставляя n = 45, получаем 2p − q = 25, то есть q = 2p − 25, а z = 45 − p − q = 45 + 25 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 23.
При этом p − q = 25 − p ≥ 2 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 23.
Сумма всех чисел равна 18p − 9q = 9(2p − q), и она же равна 5n. Значит 9(2p − q) = 5n; так как НОД(9, 5) = 1, число n делится на 9. Между 36 и 54 есть ровно одно такое число — 45.
Подставляя n = 45, получаем 2p − q = 25, то есть q = 2p − 25, а z = 45 − p − q = 45 + 25 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 23.
При этом p − q = 25 − p ≥ 2 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 23.
Пример 5
На доске написано более 40, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 9, среднее арифметическое всех положительных из них равно 16, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Показать ответ
а) 48: если положительных p, отрицательных q, то сумма всех чисел равна 16p − 8q = 8(2p − q) и одновременно 9n, поэтому 8·(2p − q) = 9n; числа 8 и 9 взаимно просты, значит n делится на 8, а между 40 и 56 такое число одно — это 48
б) положительных: из 8(2p − q) = 9·48 следует 2p − q = 54, то есть q = 2p − 54; так как нулей не может быть меньше нуля, p ≤ 34, и тогда p − q = 54 − p ≥ 20 > 0
в) 34; например 34 положительных числа со средним 16, 14 отрицательных со средним −8; больше нельзя — количество нулей 48 − p − q = 48 + 54 − 3p неотрицательно, откуда p ≤ 34
Решение
Пусть на доске p положительных, q отрицательных чисел и z нулей, всего n = p + q + z.
Сумма всех чисел равна 16p − 8q = 8(2p − q), и она же равна 9n. Значит 8(2p − q) = 9n; так как НОД(8, 9) = 1, число n делится на 8. Между 40 и 56 есть ровно одно такое число — 48.
Подставляя n = 48, получаем 2p − q = 54, то есть q = 2p − 54, а z = 48 − p − q = 48 + 54 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 34.
При этом p − q = 54 − p ≥ 20 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 34.
Сумма всех чисел равна 16p − 8q = 8(2p − q), и она же равна 9n. Значит 8(2p − q) = 9n; так как НОД(8, 9) = 1, число n делится на 8. Между 40 и 56 есть ровно одно такое число — 48.
Подставляя n = 48, получаем 2p − q = 54, то есть q = 2p − 54, а z = 48 − p − q = 48 + 54 − 3p ≥ 0, откуда p ≤ 34.
При этом p − q = 54 − p ≥ 20 > 0, поэтому положительных всегда больше. Наибольшее p равно 34.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Средние арифметические набора10Средние арифметические набора11Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних12Уменьшили на 1 и стёрли нули: наибольшее среднее
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.