(A − S(A))/3: сколько различных значений на отрезке — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 138?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 235?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 400 до 999 включительно?
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 138?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 235?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 400 до 999 включительно?
Показать ответ
а) да, например из числа 425: 425 − 11 = 414, и 414 : 3 = 138
б) нет: A − S(A) = 99a + 9b кратно 9, поэтому результат всегда кратен 3, а 235 на 3 не делится
в) 60: результат равен 3(11a + b) и не зависит от последней цифры, а разным парам (a, b) отвечают разные результаты, поэтому различных чисел столько же, сколько десятков пересекает отрезок [400; 999], то есть 99 − 40 + 1 = 60
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Тогда A − S(A) = 99a + 9b = 9(11a + b), и после деления на 3 получается 3(11a + b).
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [400; 999] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 99 − 40 + 1 = 60.
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [400; 999] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 99 − 40 + 1 = 60.
Пример 2
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 165?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 254?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 300 до 800 включительно?
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 165?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 254?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 300 до 800 включительно?
Показать ответ
а) да, например из числа 506: 506 − 11 = 495, и 495 : 3 = 165
б) нет: A − S(A) = 99a + 9b кратно 9, поэтому результат всегда кратен 3, а 254 на 3 не делится
в) 51: результат равен 3(11a + b) и не зависит от последней цифры, а разным парам (a, b) отвечают разные результаты, поэтому различных чисел столько же, сколько десятков пересекает отрезок [300; 800], то есть 80 − 30 + 1 = 51
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Тогда A − S(A) = 99a + 9b = 9(11a + b), и после деления на 3 получается 3(11a + b).
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [300; 800] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 80 − 30 + 1 = 51.
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [300; 800] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 80 − 30 + 1 = 51.
Пример 3
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 174?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 176?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 799 включительно?
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 174?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 176?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 799 включительно?
Показать ответ
а) да, например из числа 534: 534 − 12 = 522, и 522 : 3 = 174
б) нет: A − S(A) = 99a + 9b кратно 9, поэтому результат всегда кратен 3, а 176 на 3 не делится
в) 70: результат равен 3(11a + b) и не зависит от последней цифры, а разным парам (a, b) отвечают разные результаты, поэтому различных чисел столько же, сколько десятков пересекает отрезок [100; 799], то есть 79 − 10 + 1 = 70
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Тогда A − S(A) = 99a + 9b = 9(11a + b), и после деления на 3 получается 3(11a + b).
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [100; 799] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 79 − 10 + 1 = 70.
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [100; 799] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 79 − 10 + 1 = 70.
Пример 4
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 48?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 73?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 599 включительно?
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 48?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 73?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 100 до 599 включительно?
Показать ответ
а) да, например из числа 154: 154 − 10 = 144, и 144 : 3 = 48
б) нет: A − S(A) = 99a + 9b кратно 9, поэтому результат всегда кратен 3, а 73 на 3 не делится
в) 50: результат равен 3(11a + b) и не зависит от последней цифры, а разным парам (a, b) отвечают разные результаты, поэтому различных чисел столько же, сколько десятков пересекает отрезок [100; 599], то есть 59 − 10 + 1 = 50
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Тогда A − S(A) = 99a + 9b = 9(11a + b), и после деления на 3 получается 3(11a + b).
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [100; 599] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 59 − 10 + 1 = 50.
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [100; 599] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 59 − 10 + 1 = 50.
Пример 5
С трёхзначным числом производят следующую операцию: вычитают из него сумму его цифр, а затем получившуюся разность делят на 3.
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 279?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 212?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 400 до 900 включительно?
а) Могло ли в результате такой операции получиться число 279?
б) Могло ли в результате такой операции получиться число 212?
в) Сколько различных чисел может получиться в результате такой операции из чисел от 400 до 900 включительно?
Показать ответ
а) да, например из числа 856: 856 − 19 = 837, и 837 : 3 = 279
б) нет: A − S(A) = 99a + 9b кратно 9, поэтому результат всегда кратен 3, а 212 на 3 не делится
в) 51: результат равен 3(11a + b) и не зависит от последней цифры, а разным парам (a, b) отвечают разные результаты, поэтому различных чисел столько же, сколько десятков пересекает отрезок [400; 900], то есть 90 − 40 + 1 = 51
Решение
Пусть A = 100a + 10b + c. Тогда A − S(A) = 99a + 9b = 9(11a + b), и после деления на 3 получается 3(11a + b).
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [400; 900] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 90 − 40 + 1 = 51.
Отсюда сразу: результат всегда кратен 3 и не зависит от последней цифры c. Разным парам (a, b) отвечают разные значения 11a + b (если 11a1 + b1 = 11a2 + b2, то 11(a1 − a2) = b2 − b1, а |b2 − b1| ≤ 9, значит a1 = a2 и b1 = b2).
Поэтому на отрезке [400; 900] различных результатов ровно столько, сколько там десятков: 90 − 40 + 1 = 51.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.