A·S(A): наибольшее произведение, меньшее K — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 17320?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 4519?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 14448.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 17320?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 4519?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 14448.
Показать ответ
а) да, например A = 866: сумма цифр равна 20 и 866 · 20 = 17320
б) нет: S — делитель произведения, а 4519 простое, поэтому S = 1 или S = 4519; при S = 1 получаем A = 4519, что не трёхзначно, а S = 4519 больше максимальной суммы цифр 27
в) 14427; достигается при A = 687 (сумма цифр 21, 687 · 21 = 14427); больших произведений, меньших 14448, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 4519 остаются только S = 1 и S = 4519, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 14448: это 14427 при A = 687.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 4519 остаются только S = 1 и S = 4519, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 14448: это 14427 при A = 687.
Пример 2
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 39757?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 26107?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 10400.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 39757?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 26107?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 10400.
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 39757
б) нет: S — делитель произведения, а 26107 простое, поэтому S = 1 или S = 26107; при S = 1 получаем A = 26107, что не трёхзначно, а S = 26107 больше максимальной суммы цифр 27
в) 10368; достигается при A = 576 (сумма цифр 18, 576 · 18 = 10368); больших произведений, меньших 10400, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 26107 остаются только S = 1 и S = 26107, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 10400: это 10368 при A = 576.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 26107 остаются только S = 1 и S = 26107, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 10400: это 10368 при A = 576.
Пример 3
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 37860?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 26681?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 3356.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 37860?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 26681?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 3356.
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 37860
б) нет: S — делитель произведения, а 26681 простое, поэтому S = 1 или S = 26681; при S = 1 получаем A = 26681, что не трёхзначно, а S = 26681 больше максимальной суммы цифр 27
в) 3349; достигается при A = 197 (сумма цифр 17, 197 · 17 = 3349); больших произведений, меньших 3356, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 26681 остаются только S = 1 и S = 26681, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 3356: это 3349 при A = 197.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 26681 остаются только S = 1 и S = 26681, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 3356: это 3349 при A = 197.
Пример 4
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 33348?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 5099?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 6560.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 33348?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 5099?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 6560.
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 33348
б) нет: S — делитель произведения, а 5099 простое, поэтому S = 1 или S = 5099; при S = 1 получаем A = 5099, что не трёхзначно, а S = 5099 больше максимальной суммы цифр 27
в) 6516; достигается при A = 543 (сумма цифр 12, 543 · 12 = 6516); больших произведений, меньших 6560, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 5099 остаются только S = 1 и S = 5099, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 6560: это 6516 при A = 543.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 5099 остаются только S = 1 и S = 5099, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 6560: это 6516 при A = 543.
Пример 5
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 4680?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 26251?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 21257.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 4680?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 26251?
в) Найдите наибольшее произведение A · S, меньшее 21257.
Показать ответ
а) да, например A = 390: сумма цифр равна 12 и 390 · 12 = 4680
б) нет: S — делитель произведения, а 26251 простое, поэтому S = 1 или S = 26251; при S = 1 получаем A = 26251, что не трёхзначно, а S = 26251 больше максимальной суммы цифр 27
в) 21096; достигается при A = 879 (сумма цифр 24, 879 · 24 = 21096); больших произведений, меньших 21257, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 26251 остаются только S = 1 и S = 26251, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 21257: это 21096 при A = 879.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 26251 остаются только S = 1 и S = 26251, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наибольшее подходящее произведение меньше 21257: это 21096 при A = 879.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.