A·S(A): наименьшее произведение, большее K — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 36189?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 17401?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 19417?
а) Может ли выполняться равенство A · S = 36189?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 17401?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 19417?
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 36189
б) нет: S — делитель произведения, а 17401 простое, поэтому S = 1 или S = 17401; при S = 1 получаем A = 17401, что не трёхзначно, а S = 17401 больше максимальной суммы цифр 27
в) 19480; достигается при A = 974 (сумма цифр 20, 974 · 20 = 19480); меньших произведений, больших 19417, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 17401 остаются только S = 1 и S = 17401, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 19417: это 19480 при A = 974.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 17401 остаются только S = 1 и S = 17401, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 19417: это 19480 при A = 974.
Пример 2
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 37503?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 7687?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 6344?
а) Может ли выполняться равенство A · S = 37503?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 7687?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 6344?
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 37503
б) нет: S — делитель произведения, а 7687 простое, поэтому S = 1 или S = 7687; при S = 1 получаем A = 7687, что не трёхзначно, а S = 7687 больше максимальной суммы цифр 27
в) 6370; достигается при A = 490 (сумма цифр 13, 490 · 13 = 6370); меньших произведений, больших 6344, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 7687 остаются только S = 1 и S = 7687, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 6344: это 6370 при A = 490.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 7687 остаются только S = 1 и S = 7687, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 6344: это 6370 при A = 490.
Пример 3
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 33644?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 21661?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 20892?
а) Может ли выполняться равенство A · S = 33644?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 21661?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 20892?
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 33644
б) нет: S — делитель произведения, а 21661 простое, поэтому S = 1 или S = 21661; при S = 1 получаем A = 21661, что не трёхзначно, а S = 21661 больше максимальной суммы цифр 27
в) 21076; достигается при A = 958 (сумма цифр 22, 958 · 22 = 21076); меньших произведений, больших 20892, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 21661 остаются только S = 1 и S = 21661, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 20892: это 21076 при A = 958.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 21661 остаются только S = 1 и S = 21661, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 20892: это 21076 при A = 958.
Пример 4
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 33060?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 23291?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 5103?
а) Может ли выполняться равенство A · S = 33060?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 23291?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 5103?
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 33060
б) нет: S — делитель произведения, а 23291 простое, поэтому S = 1 или S = 23291; при S = 1 получаем A = 23291, что не трёхзначно, а S = 23291 больше максимальной суммы цифр 27
в) 5110; достигается при A = 365 (сумма цифр 14, 365 · 14 = 5110); меньших произведений, больших 5103, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 23291 остаются только S = 1 и S = 23291, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 5103: это 5110 при A = 365.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 23291 остаются только S = 1 и S = 23291, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 5103: это 5110 при A = 365.
Пример 5
Дано трёхзначное число A, сумма цифр которого равна S.
а) Может ли выполняться равенство A · S = 36187?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 1997?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 11006?
а) Может ли выполняться равенство A · S = 36187?
б) Может ли выполняться равенство A · S = 1997?
в) Какое наименьшее значение может принимать произведение A · S, если оно больше 11006?
Показать ответ
а) нет: A ≤ 999 и S ≤ 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 < 36187
б) нет: S — делитель произведения, а 1997 простое, поэтому S = 1 или S = 1997; при S = 1 получаем A = 1997, что не трёхзначно, а S = 1997 больше максимальной суммы цифр 27
в) 11025; достигается при A = 735 (сумма цифр 15, 735 · 15 = 11025); меньших произведений, больших 11006, нет
Решение
Для трёхзначного A сумма цифр S не превосходит 27, поэтому A · S ≤ 999 · 27 = 26973 — это сразу отсекает слишком большие значения.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 1997 остаются только S = 1 и S = 1997, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 11006: это 11025 при A = 735.
Если A · S = p, то S — делитель p, не превосходящий 27, а A = p/S обязано быть трёхзначным с суммой цифр ровно S. Для простого p = 1997 остаются только S = 1 и S = 1997, и оба не подходят.
Перебирая S от 1 до 27 и A = p/S, находим наименьшее подходящее произведение больше 11006: это 11025 при A = 735.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.