Арифметическая прогрессия: наибольшее число членов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Прогрессии. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 27?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 736?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 219.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 27?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 736?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 219.
Показать ответ
а) да, например 2, 3, 4, 5, 6 и 7
б) 37; пример: 1, 2, 3, …, 37 с суммой 703 < 736; больше нельзя — наименьшая сумма n различных натуральных чисел равна n(n+1)/2, а при n = 38 это уже 741 ≥ 736
в) 3 и 6; при n = 3 подходит прогрессия 72, 73 и 74; при n = 6 подходит прогрессия 34, 35, 36, 37, 38 и 39
Решение
Сумма n членов прогрессии равна n(2a1 + (n − 1)d)/2, где a1 ≥ 1 и d ≥ 1 (числа различны и натуральны).
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 736, равно 37.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·219 = 438. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 438/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 736, равно 37.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·219 = 438. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 438/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
Пример 2
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 20?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 235?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 20?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 235?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
Показать ответ
а) да, например 2, 4, 6 и 8
б) 21; пример: 1, 2, 3, …, 21 с суммой 231 < 235; больше нельзя — наименьшая сумма n различных натуральных чисел равна n(n+1)/2, а при n = 22 это уже 253 ≥ 235
в) 3 и 6; при n = 3 подходит прогрессия 36, 37 и 38; при n = 6 подходит прогрессия 16, 17, 18, 19, 20 и 21
Решение
Сумма n членов прогрессии равна n(2a1 + (n − 1)d)/2, где a1 ≥ 1 и d ≥ 1 (числа различны и натуральны).
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 235, равно 21.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·111 = 222. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 222/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 235, равно 21.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·111 = 222. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 222/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
Пример 3
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 21?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1172?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 21?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1172?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Показать ответ
а) да, например 1, 2, 3, 4, 5 и 6
б) 47; пример: 1, 2, 3, …, 47 с суммой 1128 < 1172; больше нельзя — наименьшая сумма n различных натуральных чисел равна n(n+1)/2, а при n = 48 это уже 1176 ≥ 1172
в) 3 и 6; при n = 3 подходит прогрессия 40, 41 и 42; при n = 6 подходит прогрессия 18, 19, 20, 21, 22 и 23
Решение
Сумма n членов прогрессии равна n(2a1 + (n − 1)d)/2, где a1 ≥ 1 и d ≥ 1 (числа различны и натуральны).
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 1172, равно 47.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·123 = 246. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 246/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 1172, равно 47.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·123 = 246. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 246/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
Пример 4
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 33?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 205?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 219.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 33?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 205?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 219.
Показать ответ
а) да, например 3, 4, 5, 6, 7 и 8
б) 19; пример: 1, 2, 3, …, 19 с суммой 190 < 205; больше нельзя — наименьшая сумма n различных натуральных чисел равна n(n+1)/2, а при n = 20 это уже 210 ≥ 205
в) 3 и 6; при n = 3 подходит прогрессия 72, 73 и 74; при n = 6 подходит прогрессия 34, 35, 36, 37, 38 и 39
Решение
Сумма n членов прогрессии равна n(2a1 + (n − 1)d)/2, где a1 ≥ 1 и d ≥ 1 (числа различны и натуральны).
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 205, равно 19.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·219 = 438. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 438/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 205, равно 19.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·219 = 438. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 438/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
Пример 5
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n ≥ 3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 40?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 865?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 267.
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 40?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 865?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 267.
Показать ответ
а) да, например 2, 5, 8, 11 и 14
б) 41; пример: 1, 2, 3, …, 41 с суммой 861 < 865; больше нельзя — наименьшая сумма n различных натуральных чисел равна n(n+1)/2, а при n = 42 это уже 903 ≥ 865
в) 3 и 6; при n = 3 подходит прогрессия 88, 89 и 90; при n = 6 подходит прогрессия 42, 43, 44, 45, 46 и 47
Решение
Сумма n членов прогрессии равна n(2a1 + (n − 1)d)/2, где a1 ≥ 1 и d ≥ 1 (числа различны и натуральны).
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 865, равно 41.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·267 = 534. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 534/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
б) Наименьшая возможная сумма при данном n достигается на прогрессии 1, 2, …, n и равна n(n+1)/2. Наибольшее n, при котором n(n+1)/2 < 865, равно 41.
в) Из 2S = n(2a1 + (n − 1)d) видно, что n — делитель числа 2·267 = 534. Далее для каждого такого n нужно, чтобы 2a1 = 534/n − (n − 1)d было чётным и не меньше 2 при некотором d ≥ 1. Это выполняется ровно при n = 3 и 6.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.