Арифметическая прогрессия: сумма крайних и число членов — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Прогрессии. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Рассматриваются конечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел.
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 5 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 51?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 11. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 29,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 5 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 51?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 11. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 29,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Показать ответ
а) нет: сумма наибольшего и наименьшего членов равна 2a₁ + (5 − 1)d = 2a₁ + 4d, а это чётное число, тогда как 51 нечётно
б) 3, 4, 5, 6, 7 и 8
в) 58; пример: 1, 2, 3, …, 58, среднее арифметическое равно 29,5; больше нельзя — среднее равно полусумме крайних членов, поэтому a₁ + aₙ = 59, а разность по модулю не меньше 1, значит n − 1 ≤ |aₙ − a₁| ≤ 57
Решение
Сумма наибольшего и наименьшего членов прогрессии из k чисел равна 2a1 + (k − 1)d.
а) При нечётном k = 5 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 51.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 11; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 59. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 59/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 59 − 2, откуда n ≤ 58; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 58.
а) При нечётном k = 5 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 51.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 11; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 59. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 59/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 59 − 2, откуда n ≤ 58; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 58.
Пример 2
Рассматриваются конечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел.
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 9 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 155?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 7. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 22,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 9 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 155?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 7. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 22,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Показать ответ
а) нет: сумма наибольшего и наименьшего членов равна 2a₁ + (9 − 1)d = 2a₁ + 8d, а это чётное число, тогда как 155 нечётно
б) 1, 2, 3, 4, 5 и 6
в) 44; пример: 1, 2, 3, …, 44, среднее арифметическое равно 22,5; больше нельзя — среднее равно полусумме крайних членов, поэтому a₁ + aₙ = 45, а разность по модулю не меньше 1, значит n − 1 ≤ |aₙ − a₁| ≤ 43
Решение
Сумма наибольшего и наименьшего членов прогрессии из k чисел равна 2a1 + (k − 1)d.
а) При нечётном k = 9 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 155.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 7; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 45. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 45/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 45 − 2, откуда n ≤ 44; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 44.
а) При нечётном k = 9 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 155.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 7; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 45. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 45/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 45 − 2, откуда n ≤ 44; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 44.
Пример 3
Рассматриваются конечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел.
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 5 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 157?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 9,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 5 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 157?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 9,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Показать ответ
а) нет: сумма наибольшего и наименьшего членов равна 2a₁ + (5 − 1)d = 2a₁ + 4d, а это чётное число, тогда как 157 нечётно
б) 2, 3, 4, 5, 6 и 7
в) 18; пример: 1, 2, 3, …, 18, среднее арифметическое равно 9,5; больше нельзя — среднее равно полусумме крайних членов, поэтому a₁ + aₙ = 19, а разность по модулю не меньше 1, значит n − 1 ≤ |aₙ − a₁| ≤ 17
Решение
Сумма наибольшего и наименьшего членов прогрессии из k чисел равна 2a1 + (k − 1)d.
а) При нечётном k = 5 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 157.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 9; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 19. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 19/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 19 − 2, откуда n ≤ 18; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 18.
а) При нечётном k = 5 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 157.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 9; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 19. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 19/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 19 − 2, откуда n ≤ 18; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 18.
Пример 4
Рассматриваются конечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел.
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 5 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 181?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 7. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 15,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 5 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 181?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 7. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 15,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Показать ответ
а) нет: сумма наибольшего и наименьшего членов равна 2a₁ + (5 − 1)d = 2a₁ + 4d, а это чётное число, тогда как 181 нечётно
б) 1, 2, 3, 4, 5 и 6
в) 30; пример: 1, 2, 3, …, 30, среднее арифметическое равно 15,5; больше нельзя — среднее равно полусумме крайних членов, поэтому a₁ + aₙ = 31, а разность по модулю не меньше 1, значит n − 1 ≤ |aₙ − a₁| ≤ 29
Решение
Сумма наибольшего и наименьшего членов прогрессии из k чисел равна 2a1 + (k − 1)d.
а) При нечётном k = 5 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 181.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 7; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 31. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 31/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 31 − 2, откуда n ≤ 30; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 30.
а) При нечётном k = 5 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 181.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 7; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 31. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 31/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 31 − 2, откуда n ≤ 30; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 30.
Пример 5
Рассматриваются конечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел.
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 7 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 113?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 7. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 22,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из 7 натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 113?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из 6 натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 7. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 22,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Показать ответ
а) нет: сумма наибольшего и наименьшего членов равна 2a₁ + (7 − 1)d = 2a₁ + 6d, а это чётное число, тогда как 113 нечётно
б) 1, 2, 3, 4, 5 и 6
в) 44; пример: 1, 2, 3, …, 44, среднее арифметическое равно 22,5; больше нельзя — среднее равно полусумме крайних членов, поэтому a₁ + aₙ = 45, а разность по модулю не меньше 1, значит n − 1 ≤ |aₙ − a₁| ≤ 43
Решение
Сумма наибольшего и наименьшего членов прогрессии из k чисел равна 2a1 + (k − 1)d.
а) При нечётном k = 7 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 113.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 7; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 45. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 45/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 45 − 2, откуда n ≤ 44; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 44.
а) При нечётном k = 7 множитель (k − 1) чётен, поэтому вся сумма чётна и не может равняться нечётному 113.
б) При k = 6 получаем 2a1 + 5d = 7; перебирая допустимые d (все члены обязаны быть натуральными), находим единственный набор 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
в) Среднее арифметическое арифметической прогрессии равно полусумме крайних членов, поэтому a1 + aₙ = 45. Разность целая и ненулевая (иначе все члены равны 45/2 — не натуральному числу), значит n − 1 ≤ |aₙ − a1| ≤ 45 − 2, откуда n ≤ 44; равенство даёт прогрессия 1, 2, 3, …, 44.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.