Частное трёхзначного без нулей и произведения цифр — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Цифры: произведение цифр и цепочки сумм цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 41312.
б) Может ли это частное равняться 40312?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 12?
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 41312.
б) Может ли это частное равняться 40312?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 12?
Показать ответ
а) 413: произведение цифр равно 12, и 413/12 = 413/12
б) нет: знаменатель 12 у несократимой дроби означает, что произведение цифр кратно 12; таких произведений трёх ненулевых цифр всего 26: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …, и для каждого из них число 403·P/12 либо не трёхзначно, либо имеет другое произведение цифр
в) 431/12; достигается при числе 431, у которого произведение цифр равно 12
Решение
Пусть A — трёхзначное число без нулей, P — произведение его цифр. Несократимая дробь A/P имеет знаменатель 12 ровно тогда, когда P кратно 12, а после сокращения в знаменателе остаётся именно 12.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 12, всего 26: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …. Для каждого такого P числитель равен A·12/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 431 и достигается при A = 431; для 403 подходящего числа нет.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 12, всего 26: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …. Для каждого такого P числитель равен A·12/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 431 и достигается при A = 431; для 403 подходящего числа нет.
Пример 2
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 1549.
б) Может ли это частное равняться 7589?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 9?
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 1549.
б) Может ли это частное равняться 7589?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 9?
Показать ответ
а) 616: произведение цифр равно 36, и 616/36 = 154/9
б) нет: знаменатель 9 у несократимой дроби означает, что произведение цифр кратно 9; таких произведений трёх ненулевых цифр всего 36: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …, и для каждого из них число 758·P/9 либо не трёхзначно, либо имеет другое произведение цифр
в) 911/9; достигается при числе 911, у которого произведение цифр равно 9
Решение
Пусть A — трёхзначное число без нулей, P — произведение его цифр. Несократимая дробь A/P имеет знаменатель 9 ровно тогда, когда P кратно 9, а после сокращения в знаменателе остаётся именно 9.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 9, всего 36: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …. Для каждого такого P числитель равен A·9/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 911 и достигается при A = 911; для 758 подходящего числа нет.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 9, всего 36: 9, 18, 27, 36, 45, 54, …. Для каждого такого P числитель равен A·9/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 911 и достигается при A = 911; для 758 подходящего числа нет.
Пример 3
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 5918.
б) Может ли это частное равняться 56318?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 18?
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 5918.
б) Может ли это частное равняться 56318?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 18?
Показать ответ
а) 295: произведение цифр равно 90, и 295/90 = 59/18
б) нет: знаменатель 18 у несократимой дроби означает, что произведение цифр кратно 18; таких произведений трёх ненулевых цифр всего 22: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …, и для каждого из них число 563·P/18 либо не трёхзначно, либо имеет другое произведение цифр
в) 631/18; достигается при числе 631, у которого произведение цифр равно 18
Решение
Пусть A — трёхзначное число без нулей, P — произведение его цифр. Несократимая дробь A/P имеет знаменатель 18 ровно тогда, когда P кратно 18, а после сокращения в знаменателе остаётся именно 18.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 18, всего 22: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …. Для каждого такого P числитель равен A·18/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 631 и достигается при A = 631; для 563 подходящего числа нет.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 18, всего 22: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …. Для каждого такого P числитель равен A·18/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 631 и достигается при A = 631; для 563 подходящего числа нет.
Пример 4
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 34336.
б) Может ли это частное равняться 40336?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 36?
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 34336.
б) Может ли это частное равняться 40336?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 36?
Показать ответ
а) 343: произведение цифр равно 36, и 343/36 = 343/36
б) нет: знаменатель 36 у несократимой дроби означает, что произведение цифр кратно 36; таких произведений трёх ненулевых цифр всего 14: 36, 72, 108, 144, 180, 216, …, и для каждого из них число 403·P/36 либо не трёхзначно, либо имеет другое произведение цифр
в) 941/36; достигается при числе 941, у которого произведение цифр равно 36
Решение
Пусть A — трёхзначное число без нулей, P — произведение его цифр. Несократимая дробь A/P имеет знаменатель 36 ровно тогда, когда P кратно 36, а после сокращения в знаменателе остаётся именно 36.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 36, всего 14: 36, 72, 108, 144, 180, 216, …. Для каждого такого P числитель равен A·36/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 941 и достигается при A = 941; для 403 подходящего числа нет.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 36, всего 14: 36, 72, 108, 144, 180, 216, …. Для каждого такого P числитель равен A·36/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 941 и достигается при A = 941; для 403 подходящего числа нет.
Пример 5
Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 5918.
б) Может ли это частное равняться 4718?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 18?
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно 5918.
б) Может ли это частное равняться 4718?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 18?
Показать ответ
а) 295: произведение цифр равно 90, и 295/90 = 59/18
б) нет: знаменатель 18 у несократимой дроби означает, что произведение цифр кратно 18; таких произведений трёх ненулевых цифр всего 22: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …, и для каждого из них число 47·P/18 либо не трёхзначно, либо имеет другое произведение цифр
в) 631/18; достигается при числе 631, у которого произведение цифр равно 18
Решение
Пусть A — трёхзначное число без нулей, P — произведение его цифр. Несократимая дробь A/P имеет знаменатель 18 ровно тогда, когда P кратно 18, а после сокращения в знаменателе остаётся именно 18.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 18, всего 22: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …. Для каждого такого P числитель равен A·18/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 631 и достигается при A = 631; для 47 подходящего числа нет.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 18, всего 22: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …. Для каждого такого P числитель равен A·18/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 631 и достигается при A = 631; для 47 подходящего числа нет.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.