Четыре группы: наименьшая сумма модулей разностей — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Расстановки и покрытия. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Показать ответ
а) нет: результат равен нулю только когда все четыре суммы равны, а тогда сумма 1 + 2 + … + 20 = 210 делилась бы на 4, чего нет
б) нет: сумма шести модулей имеет ту же чётность, что и сумма шести разностей, то есть что и 3 · 210; число 210 чётно, поэтому результат всегда чётен
в) 4; например, группы {13; 19; 20}, {1; 16; 17; 18}, {2; 10; 12; 14; 15}, {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11} с суммами 52, 52, 53, 53 дают 4
Решение
Пусть суммы групп упорядочены: s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ s4. Раскрывая модули, получаем, что результат равен 3(s4 − s1) + (s3 − s2), а сумма всех четырёх равна 1 + 2 + … + 20 = 210.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 210 делилось бы на 4. Но 210 = 4 · 52 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 210 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {13; 19; 20}, {1; 16; 17; 18}, {2; 10; 12; 14; 15}, {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11} дают суммы 52, 52, 53, 53. Ответ: 4.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 210 делилось бы на 4. Но 210 = 4 · 52 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 210 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {13; 19; 20}, {1; 16; 17; 18}, {2; 10; 12; 14; 15}, {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11} дают суммы 52, 52, 53, 53. Ответ: 4.
Пример 2
Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Показать ответ
а) нет: результат равен нулю только когда все четыре суммы равны, а тогда сумма 1 + 2 + … + 12 = 78 делилась бы на 4, чего нет
б) нет: сумма шести модулей имеет ту же чётность, что и сумма шести разностей, то есть что и 3 · 78; число 78 чётно, поэтому результат всегда чётен
в) 4; например, группы {7; 12}, {8; 11}, {1; 9; 10}, {2; 3; 4; 5; 6} с суммами 19, 19, 20, 20 дают 4
Решение
Пусть суммы групп упорядочены: s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ s4. Раскрывая модули, получаем, что результат равен 3(s4 − s1) + (s3 − s2), а сумма всех четырёх равна 1 + 2 + … + 12 = 78.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 78 делилось бы на 4. Но 78 = 4 · 19 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 78 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {7; 12}, {8; 11}, {1; 9; 10}, {2; 3; 4; 5; 6} дают суммы 19, 19, 20, 20. Ответ: 4.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 78 делилось бы на 4. Но 78 = 4 · 19 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 78 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {7; 12}, {8; 11}, {1; 9; 10}, {2; 3; 4; 5; 6} дают суммы 19, 19, 20, 20. Ответ: 4.
Пример 3
Натуральные числа от 1 до 19 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Показать ответ
а) нет: результат равен нулю только когда все четыре суммы равны, а тогда сумма 1 + 2 + … + 19 = 190 делилась бы на 4, чего нет
б) нет: сумма шести модулей имеет ту же чётность, что и сумма шести разностей, то есть что и 3 · 190; число 190 чётно, поэтому результат всегда чётен
в) 4; например, группы {10; 18; 19}, {14; 16; 17}, {8; 12; 13; 15}, {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11} с суммами 47, 47, 48, 48 дают 4
Решение
Пусть суммы групп упорядочены: s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ s4. Раскрывая модули, получаем, что результат равен 3(s4 − s1) + (s3 − s2), а сумма всех четырёх равна 1 + 2 + … + 19 = 190.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 190 делилось бы на 4. Но 190 = 4 · 47 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 190 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {10; 18; 19}, {14; 16; 17}, {8; 12; 13; 15}, {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11} дают суммы 47, 47, 48, 48. Ответ: 4.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 190 делилось бы на 4. Но 190 = 4 · 47 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 190 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {10; 18; 19}, {14; 16; 17}, {8; 12; 13; 15}, {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 11} дают суммы 47, 47, 48, 48. Ответ: 4.
Пример 4
Натуральные числа от 1 до 11 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?
Показать ответ
а) нет: результат равен нулю только когда все четыре суммы равны, а тогда сумма 1 + 2 + … + 11 = 66 делилась бы на 4, чего нет
б) нет: сумма шести модулей имеет ту же чётность, что и сумма шести разностей, то есть что и 3 · 66; число 66 чётно, поэтому результат всегда чётен
в) 4; например, группы {5; 11}, {6; 10}, {8; 9}, {1; 2; 3; 4; 7} с суммами 16, 16, 17, 17 дают 4
Решение
Пусть суммы групп упорядочены: s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ s4. Раскрывая модули, получаем, что результат равен 3(s4 − s1) + (s3 − s2), а сумма всех четырёх равна 1 + 2 + … + 11 = 66.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 66 делилось бы на 4. Но 66 = 4 · 16 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 66 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {5; 11}, {6; 10}, {8; 9}, {1; 2; 3; 4; 7} дают суммы 16, 16, 17, 17. Ответ: 4.
а) Результат равен нулю ровно тогда, когда все четыре суммы совпадают; тогда 66 делилось бы на 4. Но 66 = 4 · 16 + 2. Ответ: нет.
б) Сумма шести модулей отличается от суммы шести разностей только знаками, поэтому имеет ту же чётность, что и 3 · 66 — чётное число. Единица нечётна. Ответ: нет.
в) Равных сумм не бывает, значит s4 − s1 ≥ 1 и результат не меньше 3. Он чётен, поэтому не меньше 4. Значение 4 достигается: группы {5; 11}, {6; 10}, {8; 9}, {1; 2; 3; 4; 7} дают суммы 16, 16, 17, 17. Ответ: 4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.