Четыре коробки, ход −1, −1, −1, +3: наибольшее в первой — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй — 102, в третьей — 99, а в четвёртой — 0?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 105 камней, во второй — 102, в третьей — 99, а в четвёртой — 0?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Показать ответ
а) да: такое состояние получается за 4 хода
б) нет: за ход три коробки теряют по камню, а одна получает три, поэтому любая разность двух коробок меняется на 0 или ±4 — все попарные разности сохраняются по модулю 4. Вначале разность первой и второй коробок равна −1, то есть 3 по модулю 4, а в требуемом состоянии обе коробки пусты и разность равна 0
в) 303; например 303, 0, 1, 2
Решение
Общее число камней не меняется и равно 306. За ход одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по одному, поэтому разность любых двух коробок меняется на 0 или ±4: все попарные разности сохраняются по модулю 4.
а) Указанное состояние получается за 4 хода.
б) Если в четвёртой коробке 306 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 306 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 303: тогда в коробках 303, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 303.
а) Указанное состояние получается за 4 хода.
б) Если в четвёртой коробке 306 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 306 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 303: тогда в коробках 303, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 303.
Пример 2
Есть четыре коробки: в первой коробке 97 камней, во второй — 98, в третьей — 99, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 96 камней, во второй — 93, в третьей — 98, а в четвёртой — 7?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 294 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 96 камней, во второй — 93, в третьей — 98, а в четвёртой — 7?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 294 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Показать ответ
а) да: такое состояние получается за 5 ходов
б) нет: за ход три коробки теряют по камню, а одна получает три, поэтому любая разность двух коробок меняется на 0 или ±4 — все попарные разности сохраняются по модулю 4. Вначале разность первой и второй коробок равна −1, то есть 3 по модулю 4, а в требуемом состоянии обе коробки пусты и разность равна 0
в) 291; например 291, 0, 1, 2
Решение
Общее число камней не меняется и равно 294. За ход одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по одному, поэтому разность любых двух коробок меняется на 0 или ±4: все попарные разности сохраняются по модулю 4.
а) Указанное состояние получается за 5 ходов.
б) Если в четвёртой коробке 294 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 294 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 291: тогда в коробках 291, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 291.
а) Указанное состояние получается за 5 ходов.
б) Если в четвёртой коробке 294 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 294 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 291: тогда в коробках 291, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 291.
Пример 3
Есть четыре коробки: в первой коробке 121 камень, во второй — 122, в третьей — 123, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 119 камней, во второй — 120, в третьей — 125, а в четвёртой — 2?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 366 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 119 камней, во второй — 120, в третьей — 125, а в четвёртой — 2?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 366 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Показать ответ
а) да: такое состояние получается за 6 ходов
б) нет: за ход три коробки теряют по камню, а одна получает три, поэтому любая разность двух коробок меняется на 0 или ±4 — все попарные разности сохраняются по модулю 4. Вначале разность первой и второй коробок равна −1, то есть 3 по модулю 4, а в требуемом состоянии обе коробки пусты и разность равна 0
в) 363; например 363, 0, 1, 2
Решение
Общее число камней не меняется и равно 366. За ход одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по одному, поэтому разность любых двух коробок меняется на 0 или ±4: все попарные разности сохраняются по модулю 4.
а) Указанное состояние получается за 6 ходов.
б) Если в четвёртой коробке 366 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 366 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 363: тогда в коробках 363, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 363.
а) Указанное состояние получается за 6 ходов.
б) Если в четвёртой коробке 366 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 366 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 363: тогда в коробках 363, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 363.
Пример 4
Есть четыре коробки: в первой коробке 149 камней, во второй — 150, в третьей — 151, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 146 камней, во второй — 147, в третьей — 152, а в четвёртой — 5?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 450 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 146 камней, во второй — 147, в третьей — 152, а в четвёртой — 5?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 450 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Показать ответ
а) да: такое состояние получается за 3 хода
б) нет: за ход три коробки теряют по камню, а одна получает три, поэтому любая разность двух коробок меняется на 0 или ±4 — все попарные разности сохраняются по модулю 4. Вначале разность первой и второй коробок равна −1, то есть 3 по модулю 4, а в требуемом состоянии обе коробки пусты и разность равна 0
в) 447; например 447, 0, 1, 2
Решение
Общее число камней не меняется и равно 450. За ход одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по одному, поэтому разность любых двух коробок меняется на 0 или ±4: все попарные разности сохраняются по модулю 4.
а) Указанное состояние получается за 3 хода.
б) Если в четвёртой коробке 450 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 450 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 447: тогда в коробках 447, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 447.
а) Указанное состояние получается за 3 хода.
б) Если в четвёртой коробке 450 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 450 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 447: тогда в коробках 447, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 447.
Пример 5
Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй — 102, в третьей — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 99 камней, во второй — 100, в третьей — 105, а в четвёртой — 2?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
а) Могло ли в первой коробке оказаться 99 камней, во второй — 100, в третьей — 105, а в четвёртой — 2?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Показать ответ
а) да: такое состояние получается за 2 хода
б) нет: за ход три коробки теряют по камню, а одна получает три, поэтому любая разность двух коробок меняется на 0 или ±4 — все попарные разности сохраняются по модулю 4. Вначале разность первой и второй коробок равна −1, то есть 3 по модулю 4, а в требуемом состоянии обе коробки пусты и разность равна 0
в) 303; например 303, 0, 1, 2
Решение
Общее число камней не меняется и равно 306. За ход одна коробка получает 3 камня, а три другие теряют по одному, поэтому разность любых двух коробок меняется на 0 или ±4: все попарные разности сохраняются по модулю 4.
а) Указанное состояние получается за 2 хода.
б) Если в четвёртой коробке 306 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 306 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 303: тогда в коробках 303, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 303.
а) Указанное состояние получается за 2 хода.
б) Если в четвёртой коробке 306 камней, то остальные пусты и их разности равны нулю, а изначально разность первой и второй равна −1 — по модулю 4 это 3, противоречие.
в) Пусть в первой коробке стало m камней. Остальные три числа неотрицательны, в сумме дают 306 − m и имеют определённые остатки по модулю 4 (они восстанавливаются из инварианта). Наименьшая возможная сумма этих остатков достигается при m = 303: тогда в коробках 303, 0, 1, 2. Такое состояние достижимо, потому что система aᵢ' = aᵢ + 4kᵢ − n имеет решение в неотрицательных целых.
Ответ: 303.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.