Четырёхзначное: произведение цифр в k раз больше суммы — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Цифры: произведение цифр и цепочки сумм цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Для четырёхзначного натурального числа рассматривают произведение его цифр и сумму его цифр.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 5 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 39 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 5 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 39 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
Показать ответ
а) 1258: произведение цифр 80, сумма цифр 16, и 80 = 5 · 16
б) нет: произведение цифр равнялось бы 39·S и делилось бы на 13, но произведение четырёх цифр — это произведение чисел, не превосходящих 9, и простого делителя 13 у него быть не может
в) 8888
Решение
Обозначим произведение цифр P, сумму цифр S. Условие P = k·S.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 39 на 13), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 39 на 13), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Пример 2
Для четырёхзначного натурального числа рассматривают произведение его цифр и сумму его цифр.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 6 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 88 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 6 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 88 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
Показать ответ
а) 1269: произведение цифр 108, сумма цифр 18, и 108 = 6 · 18
б) нет: произведение цифр равнялось бы 88·S и делилось бы на 11, но произведение четырёх цифр — это произведение чисел, не превосходящих 9, и простого делителя 11 у него быть не может
в) 8888
Решение
Обозначим произведение цифр P, сумму цифр S. Условие P = k·S.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 88 на 11), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 88 на 11), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Пример 3
Для четырёхзначного натурального числа рассматривают произведение его цифр и сумму его цифр.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 12 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 26 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 12 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 26 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
Показать ответ
а) 1479: произведение цифр 252, сумма цифр 21, и 252 = 12 · 21
б) нет: произведение цифр равнялось бы 26·S и делилось бы на 13, но произведение четырёх цифр — это произведение чисел, не превосходящих 9, и простого делителя 13 у него быть не может
в) 8888
Решение
Обозначим произведение цифр P, сумму цифр S. Условие P = k·S.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 26 на 13), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 26 на 13), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Пример 4
Для четырёхзначного натурального числа рассматривают произведение его цифр и сумму его цифр.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 6 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 242 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 6 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 242 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
Показать ответ
а) 1269: произведение цифр 108, сумма цифр 18, и 108 = 6 · 18
б) нет: произведение цифр равнялось бы 242·S и делилось бы на 11, но произведение четырёх цифр — это произведение чисел, не превосходящих 9, и простого делителя 11 у него быть не может
в) 8888
Решение
Обозначим произведение цифр P, сумму цифр S. Условие P = k·S.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 242 на 11), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 242 на 11), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Пример 5
Для четырёхзначного натурального числа рассматривают произведение его цифр и сумму его цифр.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 96 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 121 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 96 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 121 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 128 раз больше суммы цифр этого числа.
Показать ответ
а) 5889: произведение цифр 2880, сумма цифр 30, и 2880 = 96 · 30
б) нет: произведение цифр равнялось бы 121·S и делилось бы на 11, но произведение четырёх цифр — это произведение чисел, не превосходящих 9, и простого делителя 11 у него быть не может
в) 8888
Решение
Обозначим произведение цифр P, сумму цифр S. Условие P = k·S.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 121 на 11), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Сразу отметим: P — произведение четырёх цифр, поэтому все простые делители P не превосходят 7. Если k делится на простое число, большее 9 (как 121 на 11), то и P делилось бы на него — противоречие, значит такого числа нет.
Для k = 128 перебор наборов цифр (достаточно перебирать невозрастающие четвёрки, а затем брать перестановки без ведущего нуля) даёт ровно одно число: 8888.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.