Числа и все их произведения на доске — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 62.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 62.
Показать ответ
а) 3, 5, 5, 7
б) нет: наибольшее число набора, 945, — это произведение всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 945 на множители из данного набора показывает, что ни одно из них не даёт этот набор (в частности, из 9 и 7 на доске обязано появиться 63, которого в наборе нет)
в) 1, 1, 1, 1, 1, 62; 1, 1, 1, 1, 2, 31
Решение
Наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел, и каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это множители наибольшего элемента набора, взятые из самого набора.
а) Подходит набор 3, 5, 5, 7: его числа и произведения дают ровно 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525. Ответ: 3, 5, 5, 7.
б) Наибольшее число 945 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 9 и 7, а значит на доске обязано быть и 63, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 62 = 2 · 31. Разложить 62 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 62; 1, 1, 1, 1, 2, 31. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 62; 1, 1, 1, 1, 2, 31.
а) Подходит набор 3, 5, 5, 7: его числа и произведения дают ровно 3, 5, 7, 15, 21, 25, 35, 75, 105, 175, 525. Ответ: 3, 5, 5, 7.
б) Наибольшее число 945 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 9 и 7, а значит на доске обязано быть и 63, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 62 = 2 · 31. Разложить 62 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 62; 1, 1, 1, 1, 2, 31. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 62; 1, 1, 1, 1, 2, 31.
Пример 2
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 7, 11, 14, 22, 49, 77, 98, 154, 539, 1078.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 7, 11, 14, 22, 28, 77, 154, 308, 616?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 93.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 7, 11, 14, 22, 49, 77, 98, 154, 539, 1078.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 7, 11, 14, 22, 28, 77, 154, 308, 616?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 93.
Показать ответ
а) 2, 7, 7, 11
б) нет: наибольшее число набора, 616, — это произведение всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 616 на множители из данного набора показывает, что ни одно из них не даёт этот набор (в частности, из 4 и 11 на доске обязано появиться 44, которого в наборе нет)
в) 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31
Решение
Наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел, и каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это множители наибольшего элемента набора, взятые из самого набора.
а) Подходит набор 2, 7, 7, 11: его числа и произведения дают ровно 2, 7, 11, 14, 22, 49, 77, 98, 154, 539, 1078. Ответ: 2, 7, 7, 11.
б) Наибольшее число 616 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 4 и 11, а значит на доске обязано быть и 44, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 93 = 3 · 31. Разложить 93 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31.
а) Подходит набор 2, 7, 7, 11: его числа и произведения дают ровно 2, 7, 11, 14, 22, 49, 77, 98, 154, 539, 1078. Ответ: 2, 7, 7, 11.
б) Наибольшее число 616 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 4 и 11, а значит на доске обязано быть и 44, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 93 = 3 · 31. Разложить 93 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31.
Пример 3
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 78, 156, 312?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 93.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 6, 12, 13, 26, 39, 78, 156, 312?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 93.
Показать ответ
а) 2, 3, 3, 13
б) нет: наибольшее число набора, 312, — это произведение всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 312 на множители из данного набора показывает, что ни одно из них не даёт этот набор (в частности, из 4 и 13 на доске обязано появиться 52, которого в наборе нет)
в) 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31
Решение
Наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел, и каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это множители наибольшего элемента набора, взятые из самого набора.
а) Подходит набор 2, 3, 3, 13: его числа и произведения дают ровно 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234. Ответ: 2, 3, 3, 13.
б) Наибольшее число 312 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 4 и 13, а значит на доске обязано быть и 52, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 93 = 3 · 31. Разложить 93 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31.
а) Подходит набор 2, 3, 3, 13: его числа и произведения дают ровно 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234. Ответ: 2, 3, 3, 13.
б) Наибольшее число 312 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 4 и 13, а значит на доске обязано быть и 52, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 93 = 3 · 31. Разложить 93 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 93; 1, 1, 1, 1, 3, 31.
Пример 4
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 11, 15, 25, 33, 55, 75, 165, 275, 825.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 165, 495, 1485?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 205.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 11, 15, 25, 33, 55, 75, 165, 275, 825.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 9, 11, 15, 33, 45, 55, 165, 495, 1485?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 205.
Показать ответ
а) 3, 5, 5, 11
б) нет: наибольшее число набора, 1485, — это произведение всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 1485 на множители из данного набора показывает, что ни одно из них не даёт этот набор (в частности, из 9 и 11 на доске обязано появиться 99, которого в наборе нет)
в) 1, 1, 1, 1, 1, 205; 1, 1, 1, 1, 5, 41
Решение
Наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел, и каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это множители наибольшего элемента набора, взятые из самого набора.
а) Подходит набор 3, 5, 5, 11: его числа и произведения дают ровно 3, 5, 11, 15, 25, 33, 55, 75, 165, 275, 825. Ответ: 3, 5, 5, 11.
б) Наибольшее число 1485 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 9 и 11, а значит на доске обязано быть и 99, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 205 = 5 · 41. Разложить 205 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 205; 1, 1, 1, 1, 5, 41. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 205; 1, 1, 1, 1, 5, 41.
а) Подходит набор 3, 5, 5, 11: его числа и произведения дают ровно 3, 5, 11, 15, 25, 33, 55, 75, 165, 275, 825. Ответ: 3, 5, 5, 11.
б) Наибольшее число 1485 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 9 и 11, а значит на доске обязано быть и 99, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 205 = 5 · 41. Разложить 205 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 205; 1, 1, 1, 1, 5, 41. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 205; 1, 1, 1, 1, 5, 41.
Пример 5
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные произведения (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 50, 55, 110, 275, 550.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 55, 110, 220, 440?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 94.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 50, 55, 110, 275, 550.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 55, 110, 220, 440?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 94.
Показать ответ
а) 2, 5, 5, 11
б) нет: наибольшее число набора, 440, — это произведение всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 440 на множители из данного набора показывает, что ни одно из них не даёт этот набор (в частности, из 4 и 11 на доске обязано появиться 44, которого в наборе нет)
в) 1, 1, 1, 1, 1, 94; 1, 1, 1, 1, 2, 47
Решение
Наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел, и каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это множители наибольшего элемента набора, взятые из самого набора.
а) Подходит набор 2, 5, 5, 11: его числа и произведения дают ровно 2, 5, 10, 11, 22, 25, 50, 55, 110, 275, 550. Ответ: 2, 5, 5, 11.
б) Наибольшее число 440 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 4 и 11, а значит на доске обязано быть и 44, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 94 = 2 · 47. Разложить 94 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 94; 1, 1, 1, 1, 2, 47. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 94; 1, 1, 1, 1, 2, 47.
а) Подходит набор 2, 5, 5, 11: его числа и произведения дают ровно 2, 5, 10, 11, 22, 25, 50, 55, 110, 275, 550. Ответ: 2, 5, 5, 11.
б) Наибольшее число 440 должно быть произведением всех задуманных. Перебор всех разложений на множители, встречающиеся в наборе, не даёт ни одного подходящего примера: например, набор содержит 4 и 11, а значит на доске обязано быть и 44, которого в наборе нет. Ответ: нет.
в) Наибольшее число доски равно произведению всех 6 задуманных чисел, то есть 94 = 2 · 47. Разложить 94 в произведение 6 натуральных множителей можно только так: 1, 1, 1, 1, 1, 94; 1, 1, 1, 1, 2, 47. Ответ: 1, 1, 1, 1, 1, 94; 1, 1, 1, 1, 2, 47.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.