Числа и все их суммы (целые) — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −13, −8, −6, −5, −1, 2, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) На доске выписан набор −13, −8, −6, −5, −1, 2, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Показать ответ
а) −8, −5, 7
б) 4; например, числа 1, 2, −3, −1: нулевую сумму дают ровно два поднабора — 1 и −1, а также 1, 2 и −3
в) нет: если сумма всех задуманных чисел равна нулю, доска симметрична относительно нуля, поэтому наборы −9, 3, 6 и −6, −3, 9 дают одну и ту же доску −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9
Решение
На доске стоят суммы всех непустых поднаборов, поэтому чисел на доске 2^k − 1, где k — количество задуманных чисел, и каждое задуманное число само есть на доске.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных −6. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −8, −5, 7.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −9, 3, 6 и −6, −3, 9 — разные, а доска у них одна и та же: −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9. Ответ: не всегда.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных −6. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −8, −5, 7.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −9, 3, 6 и −6, −3, 9 — разные, а доска у них одна и та же: −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9. Ответ: не всегда.
Пример 2
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −6, −3, −2, 1, 3, 4, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) На доске выписан набор −6, −3, −2, 1, 3, 4, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Показать ответ
а) −6, 3, 4
б) 4; например, числа 1, 2, −3, −1: нулевую сумму дают ровно два поднабора — 1 и −1, а также 1, 2 и −3
в) нет: если сумма всех задуманных чисел равна нулю, доска симметрична относительно нуля, поэтому наборы −8, 2, 6 и −6, −2, 8 дают одну и ту же доску −8, −6, −2, 0, 2, 6, 8
Решение
На доске стоят суммы всех непустых поднаборов, поэтому чисел на доске 2^k − 1, где k — количество задуманных чисел, и каждое задуманное число само есть на доске.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных 1. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −6, 3, 4.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −8, 2, 6 и −6, −2, 8 — разные, а доска у них одна и та же: −8, −6, −2, 0, 2, 6, 8. Ответ: не всегда.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных 1. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −6, 3, 4.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −8, 2, 6 и −6, −2, 8 — разные, а доска у них одна и та же: −8, −6, −2, 0, 2, 6, 8. Ответ: не всегда.
Пример 3
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −8, −5, −2, 1, 3, 6, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) На доске выписан набор −8, −5, −2, 1, 3, 6, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Показать ответ
а) −8, 3, 6
б) 4; например, числа 1, 2, −3, −1: нулевую сумму дают ровно два поднабора — 1 и −1, а также 1, 2 и −3
в) нет: если сумма всех задуманных чисел равна нулю, доска симметрична относительно нуля, поэтому наборы −8, 1, 7 и −7, −1, 8 дают одну и ту же доску −8, −7, −1, 0, 1, 7, 8
Решение
На доске стоят суммы всех непустых поднаборов, поэтому чисел на доске 2^k − 1, где k — количество задуманных чисел, и каждое задуманное число само есть на доске.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных 1. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −8, 3, 6.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −8, 1, 7 и −7, −1, 8 — разные, а доска у них одна и та же: −8, −7, −1, 0, 1, 7, 8. Ответ: не всегда.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных 1. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −8, 3, 6.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −8, 1, 7 и −7, −1, 8 — разные, а доска у них одна и та же: −8, −7, −1, 0, 1, 7, 8. Ответ: не всегда.
Пример 4
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −8, −6, −4, −2, 2, 4, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) На доске выписан набор −8, −6, −4, −2, 2, 4, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Показать ответ
а) −8, 2, 4
б) 4; например, числа 1, 2, −3, −1: нулевую сумму дают ровно два поднабора — 1 и −1, а также 1, 2 и −3
в) нет: если сумма всех задуманных чисел равна нулю, доска симметрична относительно нуля, поэтому наборы −9, 4, 5 и −5, −4, 9 дают одну и ту же доску −9, −5, −4, 0, 4, 5, 9
Решение
На доске стоят суммы всех непустых поднаборов, поэтому чисел на доске 2^k − 1, где k — количество задуманных чисел, и каждое задуманное число само есть на доске.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных −2. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −8, 2, 4.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −9, 4, 5 и −5, −4, 9 — разные, а доска у них одна и та же: −9, −5, −4, 0, 4, 5, 9. Ответ: не всегда.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных −2. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −8, 2, 4.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −9, 4, 5 и −5, −4, 9 — разные, а доска у них одна и та же: −9, −5, −4, 0, 4, 5, 9. Ответ: не всегда.
Пример 5
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор −4, −1, 0, 3, 3, 4, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
а) На доске выписан набор −4, −1, 0, 3, 3, 4, 7. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Показать ответ
а) −4, 3, 4
б) 4; например, числа 1, 2, −3, −1: нулевую сумму дают ровно два поднабора — 1 и −1, а также 1, 2 и −3
в) нет: если сумма всех задуманных чисел равна нулю, доска симметрична относительно нуля, поэтому наборы −9, 3, 6 и −6, −3, 9 дают одну и ту же доску −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9
Решение
На доске стоят суммы всех непустых поднаборов, поэтому чисел на доске 2^k − 1, где k — количество задуманных чисел, и каждое задуманное число само есть на доске.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных 3. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −4, 3, 4.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −9, 3, 6 и −6, −3, 9 — разные, а доска у них одна и та же: −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9. Ответ: не всегда.
а) В наборе 7 чисел, значит задумано 3 числа, и все они — элементы доски. Сумма всех чисел доски равна учетверённой сумме задуманных, отсюда сумма задуманных 3. Перебор наборов из элементов доски даёт единственный вариант: −4, 3, 4.
б) Пусть нулевую сумму дают ровно два непустых поднабора S и T. Это линейные условия, поэтому любой поднабор U, чей индикатор лежит в линейной оболочке индикаторов S и T, тоже обязан быть нулевым, а если в этой оболочке лежит разность e_i − e_j, то i-е и j-е числа обязаны совпасть. Разбор всех пар (S, T) показывает, что при k = 2 и k = 3 всегда срабатывает одно из этих «обязано»: либо появляется третий нулевой поднабор, либо два числа становятся равными. При k = 4 пример есть: 1, 2, −3, −1 — нули дают только поднаборы {1; −1} и {1; 2; −3}. Ответ: 4.
в) Нет. Если сумма всех задуманных чисел равна нулю, то вместе с каждым поднабором его дополнение даёт противоположную сумму, поэтому доска симметрична относительно нуля. Тогда наборы −9, 3, 6 и −6, −3, 9 — разные, а доска у них одна и та же: −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9. Ответ: не всегда.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.