Числа и все их суммы (натуральные) — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Наборы: суммы и произведения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 19, 21?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 7.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 19, 21?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 7.
Показать ответ
а) 2, 2, 3, 3
б) нет: наибольшее число набора, 21, — это сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 21 в сумму чисел данного набора не даёт ни одного примера
в) 2, 2, 3
Решение
Наибольшее число на доске — сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это слагаемые наибольшего элемента, взятые из самого набора: пространство поиска конечно и перебирается полностью.
а) Подходит набор 2, 2, 3, 3: его числа и суммы дают ровно 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.
б) Для набора 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 19, 21 наибольшее число 21 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 2, 3, 4, 5, 7 тот же перебор даёт ровно 1 пример: 2, 2, 3.
а) Подходит набор 2, 2, 3, 3: его числа и суммы дают ровно 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.
б) Для набора 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 19, 21 наибольшее число 21 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 2, 3, 4, 5, 7 тот же перебор даёт ровно 1 пример: 2, 2, 3.
Пример 2
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 4, 5, 6, 9, 10, 11, 15.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 4, 8, 9, 12, 13, 17, 21.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 4, 5, 6, 9, 10, 11, 15.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 4, 8, 9, 12, 13, 17, 21.
Показать ответ
а) 4, 5, 6
б) нет: наибольшее число набора, 23, — это сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 23 в сумму чисел данного набора не даёт ни одного примера
в) 4, 4, 4, 9; 4, 8, 9
Решение
Наибольшее число на доске — сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это слагаемые наибольшего элемента, взятые из самого набора: пространство поиска конечно и перебирается полностью.
а) Подходит набор 4, 5, 6: его числа и суммы дают ровно 4, 5, 6, 9, 10, 11, 15.
б) Для набора 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23 наибольшее число 23 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 4, 8, 9, 12, 13, 17, 21 тот же перебор даёт ровно 2 примера: 4, 4, 4, 9; 4, 8, 9.
а) Подходит набор 4, 5, 6: его числа и суммы дают ровно 4, 5, 6, 9, 10, 11, 15.
б) Для набора 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23 наибольшее число 23 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 4, 8, 9, 12, 13, 17, 21 тот же перебор даёт ровно 2 примера: 4, 4, 4, 9; 4, 8, 9.
Пример 3
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 7, 11, 13, 14, 17?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 7, 11, 13, 14, 17?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15.
Показать ответ
а) 1, 3, 5, 5
б) нет: наибольшее число набора, 17, — это сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 17 в сумму чисел данного набора не даёт ни одного примера
в) 3, 4, 4, 4; 3, 4, 8
Решение
Наибольшее число на доске — сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это слагаемые наибольшего элемента, взятые из самого набора: пространство поиска конечно и перебирается полностью.
а) Подходит набор 1, 3, 5, 5: его числа и суммы дают ровно 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14.
б) Для набора 3, 6, 7, 11, 13, 14, 17 наибольшее число 17 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15 тот же перебор даёт ровно 2 примера: 3, 4, 4, 4; 3, 4, 8.
а) Подходит набор 1, 3, 5, 5: его числа и суммы дают ровно 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14.
б) Для набора 3, 6, 7, 11, 13, 14, 17 наибольшее число 17 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 3, 4, 7, 8, 11, 12, 15 тот же перебор даёт ровно 2 примера: 3, 4, 4, 4; 3, 4, 8.
Пример 4
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 26, 27?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 19, 22, 25.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 26, 27?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 19, 22, 25.
Показать ответ
а) 1, 2, 5
б) нет: наибольшее число набора, 27, — это сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 27 в сумму чисел данного набора не даёт ни одного примера
в) 3, 3, 3, 8, 8; 3, 6, 8, 8
Решение
Наибольшее число на доске — сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это слагаемые наибольшего элемента, взятые из самого набора: пространство поиска конечно и перебирается полностью.
а) Подходит набор 1, 2, 5: его числа и суммы дают ровно 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8.
б) Для набора 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 26, 27 наибольшее число 27 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 3, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 19, 22, 25 тот же перебор даёт ровно 2 примера: 3, 3, 3, 8, 8; 3, 6, 8, 8.
а) Подходит набор 1, 2, 5: его числа и суммы дают ровно 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8.
б) Для набора 1, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 24, 26, 27 наибольшее число 27 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 3, 6, 8, 9, 11, 14, 16, 17, 19, 22, 25 тот же перебор даёт ровно 2 примера: 3, 3, 3, 8, 8; 3, 6, 8, 8.
Пример 5
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 4, 6, 9, 10, 13, 15, 19.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 4, 6, 9, 10, 13, 15, 19.
Показать ответ
а) 2, 2, 3, 5
б) нет: наибольшее число набора, 24, — это сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само есть на доске; перебор всех разложений 24 в сумму чисел данного набора не даёт ни одного примера
в) 4, 6, 9
Решение
Наибольшее число на доске — сумма всех задуманных чисел, а каждое задуманное число само стоит на доске. Поэтому задуманные числа — это слагаемые наибольшего элемента, взятые из самого набора: пространство поиска конечно и перебирается полностью.
а) Подходит набор 2, 2, 3, 5: его числа и суммы дают ровно 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12.
б) Для набора 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24 наибольшее число 24 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 4, 6, 9, 10, 13, 15, 19 тот же перебор даёт ровно 1 пример: 4, 6, 9.
а) Подходит набор 2, 2, 3, 5: его числа и суммы дают ровно 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12.
б) Для набора 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24 наибольшее число 24 нужно разложить в сумму чисел этого же набора так, чтобы все частичные суммы дали в точности данный набор. Перебор всех разложений показывает, что таких наборов нет. Ответ: нет.
в) Для набора 4, 6, 9, 10, 13, 15, 19 тот же перебор даёт ровно 1 пример: 4, 6, 9.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.