Числа по кругу: наибольшее k для соседних чисел — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Расстановки и покрытия. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Показать ответ
а) нет: соседи числа 11 обязаны отличаться от него не меньше чем на 11, то есть быть не больше 0 или не меньше 22; но чисел, не превосходящих нуля, нет, а 22 больше 21
б) да, например по кругу 11, 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21 — соседние разности равны 10 и 11
в) 6; например, по кругу 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21: наименьшая разность соседей равна 7, а стоящих через одного — 6
Решение
а) У числа v соседи обязаны быть не больше v − T или не меньше v + T. Возьмём v = 11: тогда соседи должны быть не больше 11 − 11 = 0 или не меньше 22 > 21. Таких чисел нет. Ответ: нет.
б) Подходит «зигзаг»: 11, 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21. Разности соседей равны 10 и 11, все не меньше 10. Ответ: да.
в) Если k — искомое, то любые два числа, отличающиеся меньше чем на k, стоят на расстоянии не меньше 3 друг от друга (иначе их разность попала бы в список). Числа 1, 2, …, t при t ≤ k попарно отличаются меньше чем на k, поэтому занимают t позиций с промежутками не меньше 3. На окружности из 21 позиций так помещается не больше 7 чисел, причём при ровно 7 числах все промежутки равны 3 — то есть позиции образуют класс вычетов по модулю 3. Но тогда и числа 1…7, и числа 2…8 занимали бы один и тот же класс, а это невозможно. Значит k ≤ 6. Пример на 6: 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 — разности соседей не меньше 7, а через одного — не меньше 6. Ответ: 6.
б) Подходит «зигзаг»: 11, 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21. Разности соседей равны 10 и 11, все не меньше 10. Ответ: да.
в) Если k — искомое, то любые два числа, отличающиеся меньше чем на k, стоят на расстоянии не меньше 3 друг от друга (иначе их разность попала бы в список). Числа 1, 2, …, t при t ≤ k попарно отличаются меньше чем на k, поэтому занимают t позиций с промежутками не меньше 3. На окружности из 21 позиций так помещается не больше 7 чисел, причём при ровно 7 числах все промежутки равны 3 — то есть позиции образуют класс вычетов по модулю 3. Но тогда и числа 1…7, и числа 2…8 занимали бы один и тот же класс, а это невозможно. Значит k ≤ 6. Пример на 6: 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 — разности соседей не меньше 7, а через одного — не меньше 6. Ответ: 6.
Пример 2
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Показать ответ
а) нет: соседи числа 14 обязаны отличаться от него не меньше чем на 14, то есть быть не больше 0 или не меньше 28; но чисел, не превосходящих нуля, нет, а 28 больше 27
б) да, например по кругу 14, 1, 15, 2, 16, 3, 17, 4, 18, 5, 19, 6, 20, 7, 21, 8, 22, 9, 23, 10, 24, 11, 25, 12, 26, 13, 27 — соседние разности равны 13 и 14
в) 8; например, по кругу 1, 10, 19, 2, 11, 20, 3, 12, 21, 4, 13, 22, 5, 14, 23, 6, 15, 24, 7, 16, 25, 8, 17, 26, 9, 18, 27: наименьшая разность соседей равна 9, а стоящих через одного — 8
Решение
а) У числа v соседи обязаны быть не больше v − T или не меньше v + T. Возьмём v = 14: тогда соседи должны быть не больше 14 − 14 = 0 или не меньше 28 > 27. Таких чисел нет. Ответ: нет.
б) Подходит «зигзаг»: 14, 1, 15, 2, 16, 3, 17, 4, 18, 5, 19, 6, 20, 7, 21, 8, 22, 9, 23, 10, 24, 11, 25, 12, 26, 13, 27. Разности соседей равны 13 и 14, все не меньше 13. Ответ: да.
в) Если k — искомое, то любые два числа, отличающиеся меньше чем на k, стоят на расстоянии не меньше 3 друг от друга (иначе их разность попала бы в список). Числа 1, 2, …, t при t ≤ k попарно отличаются меньше чем на k, поэтому занимают t позиций с промежутками не меньше 3. На окружности из 27 позиций так помещается не больше 9 чисел, причём при ровно 9 числах все промежутки равны 3 — то есть позиции образуют класс вычетов по модулю 3. Но тогда и числа 1…9, и числа 2…10 занимали бы один и тот же класс, а это невозможно. Значит k ≤ 8. Пример на 8: 1, 10, 19, 2, 11, 20, 3, 12, 21, 4, 13, 22, 5, 14, 23, 6, 15, 24, 7, 16, 25, 8, 17, 26, 9, 18, 27 — разности соседей не меньше 9, а через одного — не меньше 8. Ответ: 8.
б) Подходит «зигзаг»: 14, 1, 15, 2, 16, 3, 17, 4, 18, 5, 19, 6, 20, 7, 21, 8, 22, 9, 23, 10, 24, 11, 25, 12, 26, 13, 27. Разности соседей равны 13 и 14, все не меньше 13. Ответ: да.
в) Если k — искомое, то любые два числа, отличающиеся меньше чем на k, стоят на расстоянии не меньше 3 друг от друга (иначе их разность попала бы в список). Числа 1, 2, …, t при t ≤ k попарно отличаются меньше чем на k, поэтому занимают t позиций с промежутками не меньше 3. На окружности из 27 позиций так помещается не больше 9 чисел, причём при ровно 9 числах все промежутки равны 3 — то есть позиции образуют класс вычетов по модулю 3. Но тогда и числа 1…9, и числа 2…10 занимали бы один и тот же класс, а это невозможно. Значит k ≤ 8. Пример на 8: 1, 10, 19, 2, 11, 20, 3, 12, 21, 4, 13, 22, 5, 14, 23, 6, 15, 24, 7, 16, 25, 8, 17, 26, 9, 18, 27 — разности соседей не меньше 9, а через одного — не меньше 8. Ответ: 8.
Пример 3
На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 15 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 7?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 8?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 7?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Показать ответ
а) нет: соседи числа 8 обязаны отличаться от него не меньше чем на 8, то есть быть не больше 0 или не меньше 16; но чисел, не превосходящих нуля, нет, а 16 больше 15
б) да, например по кругу 8, 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15 — соседние разности равны 7 и 8
в) 4; например, по кругу 1, 6, 11, 2, 7, 12, 3, 8, 13, 4, 9, 14, 5, 10, 15: наименьшая разность соседей равна 5, а стоящих через одного — 4
Решение
а) У числа v соседи обязаны быть не больше v − T или не меньше v + T. Возьмём v = 8: тогда соседи должны быть не больше 8 − 8 = 0 или не меньше 16 > 15. Таких чисел нет. Ответ: нет.
б) Подходит «зигзаг»: 8, 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15. Разности соседей равны 7 и 8, все не меньше 7. Ответ: да.
в) Если k — искомое, то любые два числа, отличающиеся меньше чем на k, стоят на расстоянии не меньше 3 друг от друга (иначе их разность попала бы в список). Числа 1, 2, …, t при t ≤ k попарно отличаются меньше чем на k, поэтому занимают t позиций с промежутками не меньше 3. На окружности из 15 позиций так помещается не больше 5 чисел, причём при ровно 5 числах все промежутки равны 3 — то есть позиции образуют класс вычетов по модулю 3. Но тогда и числа 1…5, и числа 2…6 занимали бы один и тот же класс, а это невозможно. Значит k ≤ 4. Пример на 4: 1, 6, 11, 2, 7, 12, 3, 8, 13, 4, 9, 14, 5, 10, 15 — разности соседей не меньше 5, а через одного — не меньше 4. Ответ: 4.
б) Подходит «зигзаг»: 8, 1, 9, 2, 10, 3, 11, 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7, 15. Разности соседей равны 7 и 8, все не меньше 7. Ответ: да.
в) Если k — искомое, то любые два числа, отличающиеся меньше чем на k, стоят на расстоянии не меньше 3 друг от друга (иначе их разность попала бы в список). Числа 1, 2, …, t при t ≤ k попарно отличаются меньше чем на k, поэтому занимают t позиций с промежутками не меньше 3. На окружности из 15 позиций так помещается не больше 5 чисел, причём при ровно 5 числах все промежутки равны 3 — то есть позиции образуют класс вычетов по модулю 3. Но тогда и числа 1…5, и числа 2…6 занимали бы один и тот же класс, а это невозможно. Значит k ≤ 4. Пример на 4: 1, 6, 11, 2, 7, 12, 3, 8, 13, 4, 9, 14, 5, 10, 15 — разности соседей не меньше 5, а через одного — не меньше 4. Ответ: 4.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.