Число, не кратное 100: наибольшее частное A : S(A) — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Трёхзначное число и сумма его цифр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 60?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 60?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 540 (сумма цифр 9, 540 : 9 = 60)
б) нет: из A = 87·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 86·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 783 равна 18, а не 9
в) 91; пример: 910 (сумма цифр 10, 910 : 10 = 91); больше нельзя — при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 87: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 783 равна 18, а не 9, значит 87 невозможно.
Для q = 60 подходит число 540. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 87: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 783 равна 18, а не 9, значит 87 невозможно.
Для q = 60 подходит число 540. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 2
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 60?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 74?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 60?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 74?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 540 (сумма цифр 9, 540 : 9 = 60)
б) нет: из A = 74·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 73·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 666 равна 18, а не 9
в) 91; пример: 910 (сумма цифр 10, 910 : 10 = 91); больше нельзя — при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 74: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 666 равна 18, а не 9, значит 74 невозможно.
Для q = 60 подходит число 540. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 74: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 666 равна 18, а не 9, значит 74 невозможно.
Для q = 60 подходит число 540. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 3
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 59?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 63?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 59?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 63?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 531 (сумма цифр 9, 531 : 9 = 59)
б) нет: из A = 63·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 62·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 567 равна 18, а не 9
в) 91; пример: 910 (сумма цифр 10, 910 : 10 = 91); больше нельзя — при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 63: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 567 равна 18, а не 9, значит 63 невозможно.
Для q = 59 подходит число 531. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 63: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 567 равна 18, а не 9, значит 63 невозможно.
Для q = 59 подходит число 531. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 4
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 25?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 66?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 25?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 66?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 150 (сумма цифр 6, 150 : 6 = 25)
б) нет: из A = 66·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 65·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 594 равна 18, а не 9
в) 91; пример: 910 (сумма цифр 10, 910 : 10 = 91); больше нельзя — при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 66: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 594 равна 18, а не 9, значит 66 невозможно.
Для q = 25 подходит число 150. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 66: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 594 равна 18, а не 9, значит 66 невозможно.
Для q = 25 подходит число 150. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Пример 5
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 17?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 75?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 17?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 75?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Показать ответ
а) да, например 153 (сумма цифр 9, 153 : 9 = 17)
б) нет: из A = 75·S и A ≡ S (mod 9) следует, что 74·S кратно 9; подходит только S = 9, но сумма цифр числа 675 равна 18, а не 9
в) 91; пример: 910 (сумма цифр 10, 910 : 10 = 91); больше нельзя — при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, и прямая проверка всех оставшихся пар (q, S) трёхзначных чисел не даёт
Решение
Обозначим число A, сумму его цифр S. Всегда A ≡ S (mod 9), поэтому из A = q·S следует, что (q − 1)·S кратно 9 — это отсекает большинство значений q.
Для q = 75: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 675 равна 18, а не 9, значит 75 невозможно.
Для q = 17 подходит число 153. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Для q = 75: подходит только S = 9, но сумма цифр числа 675 равна 18, а не 9, значит 75 невозможно.
Для q = 17 подходит число 153. Наибольшее значение равно 91 и достигается на 910: при частном q > 91 сумма цифр S = A/q не превосходит 10, а оставшиеся пары (q, S) проверяются напрямую.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.