Делят на любую ненулевую цифру: наибольшая целая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Четыре последовательных числа, делённые на цифру. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 3250?
б) Может ли полученная сумма равняться 186 2332?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 100 и не больше 599?
а) Может ли полученная сумма равняться 3250?
б) Может ли полученная сумма равняться 186 2332?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 100 и не больше 599?
Показать ответ
а) да, например для чисел 811, 812, 813, 814: каждое из них содержит цифру 1, поэтому все четыре можно поделить на 1, и сумма равна 811 + 812 + 813 + 814 = 3250
б) нет: каждое слагаемое — дробь со знаменателем от 1 до 9, поэтому знаменатель несократимой дроби суммы делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 32 его не делит
в) 2070; достигается на числах 516, 517, 518, 519; больше нельзя — каждое слагаемое не превосходит самого числа (делитель не меньше 1), а сумма четырёх чисел отрезка [100; 599] максимальна у наибольшей четвёрки, каждое число которой можно делить на 1
Решение
Каждое слагаемое равно (n + i) : d, где d — ненулевая цифра числа n + i, поэтому слагаемое не превосходит самого числа, а равенство достигается ровно тогда, когда среди цифр есть 1.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [100; 599] даёт максимум 2070 при числах 516—519.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [100; 599] даёт максимум 2070 при числах 516—519.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Пример 2
Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 3650?
б) Может ли полученная сумма равняться 173 1119?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 500 и не больше 899?
а) Может ли полученная сумма равняться 3650?
б) Может ли полученная сумма равняться 173 1119?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 500 и не больше 899?
Показать ответ
а) да, например для чисел 911, 912, 913, 914: каждое из них содержит цифру 1, поэтому все четыре можно поделить на 1, и сумма равна 911 + 912 + 913 + 914 = 3650
б) нет: каждое слагаемое — дробь со знаменателем от 1 до 9, поэтому знаменатель несократимой дроби суммы делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 19 его не делит
в) 3270; достигается на числах 816, 817, 818, 819; больше нельзя — каждое слагаемое не превосходит самого числа (делитель не меньше 1), а сумма четырёх чисел отрезка [500; 899] максимальна у наибольшей четвёрки, каждое число которой можно делить на 1
Решение
Каждое слагаемое равно (n + i) : d, где d — ненулевая цифра числа n + i, поэтому слагаемое не превосходит самого числа, а равенство достигается ровно тогда, когда среди цифр есть 1.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [500; 899] даёт максимум 3270 при числах 816—819.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [500; 899] даёт максимум 3270 при числах 816—819.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Пример 3
Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 1654?
б) Может ли полученная сумма равняться 51 1317?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 100 и не больше 399?
а) Может ли полученная сумма равняться 1654?
б) Может ли полученная сумма равняться 51 1317?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 100 и не больше 399?
Показать ответ
а) да, например для чисел 412, 413, 414, 415: каждое из них содержит цифру 1, поэтому все четыре можно поделить на 1, и сумма равна 412 + 413 + 414 + 415 = 1654
б) нет: каждое слагаемое — дробь со знаменателем от 1 до 9, поэтому знаменатель несократимой дроби суммы делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 17 его не делит
в) 1270; достигается на числах 316, 317, 318, 319; больше нельзя — каждое слагаемое не превосходит самого числа (делитель не меньше 1), а сумма четырёх чисел отрезка [100; 399] максимальна у наибольшей четвёрки, каждое число которой можно делить на 1
Решение
Каждое слагаемое равно (n + i) : d, где d — ненулевая цифра числа n + i, поэтому слагаемое не превосходит самого числа, а равенство достигается ровно тогда, когда среди цифр есть 1.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [100; 399] даёт максимум 1270 при числах 316—319.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [100; 399] даёт максимум 1270 при числах 316—319.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Пример 4
Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 1250?
б) Может ли полученная сумма равняться 58 2125?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 599?
а) Может ли полученная сумма равняться 1250?
б) Может ли полученная сумма равняться 58 2125?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 599?
Показать ответ
а) да, например для чисел 311, 312, 313, 314: каждое из них содержит цифру 1, поэтому все четыре можно поделить на 1, и сумма равна 311 + 312 + 313 + 314 = 1250
б) нет: каждое слагаемое — дробь со знаменателем от 1 до 9, поэтому знаменатель несократимой дроби суммы делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 25 его не делит
в) 2070; достигается на числах 516, 517, 518, 519; больше нельзя — каждое слагаемое не превосходит самого числа (делитель не меньше 1), а сумма четырёх чисел отрезка [200; 599] максимальна у наибольшей четвёрки, каждое число которой можно делить на 1
Решение
Каждое слагаемое равно (n + i) : d, где d — ненулевая цифра числа n + i, поэтому слагаемое не превосходит самого числа, а равенство достигается ровно тогда, когда среди цифр есть 1.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [200; 599] даёт максимум 2070 при числах 516—519.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [200; 599] даёт максимум 2070 при числах 516—519.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Пример 5
Даны четыре последовательных натуральных числа. Каждое из чисел поделили на одну из его цифр, не равную нулю, а затем четыре полученных результата сложили.
а) Может ли полученная сумма равняться 2462?
б) Может ли полученная сумма равняться 168 1116?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 399?
а) Может ли полученная сумма равняться 2462?
б) Может ли полученная сумма равняться 168 1116?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать полученная сумма, если известно, что каждое из исходных чисел не меньше 200 и не больше 399?
Показать ответ
а) да, например для чисел 614, 615, 616, 617: каждое из них содержит цифру 1, поэтому все четыре можно поделить на 1, и сумма равна 614 + 615 + 616 + 617 = 2462
б) нет: каждое слагаемое — дробь со знаменателем от 1 до 9, поэтому знаменатель несократимой дроби суммы делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 16 его не делит
в) 1270; достигается на числах 316, 317, 318, 319; больше нельзя — каждое слагаемое не превосходит самого числа (делитель не меньше 1), а сумма четырёх чисел отрезка [200; 399] максимальна у наибольшей четвёрки, каждое число которой можно делить на 1
Решение
Каждое слагаемое равно (n + i) : d, где d — ненулевая цифра числа n + i, поэтому слагаемое не превосходит самого числа, а равенство достигается ровно тогда, когда среди цифр есть 1.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [200; 399] даёт максимум 1270 при числах 316—319.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Отсюда сумма не превосходит 4n + 6, и максимум набирается на самой правой четвёрке отрезка, у каждого числа которой есть цифра 1; если такой четвёрки нет, приходится делить хотя бы одно число на цифру ≥ 2, что заметно уменьшает сумму. Перебор по отрезку [200; 399] даёт максимум 1270 при числах 316—319.
Знаменатель суммы всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это отсекает «неправильные» дробные значения.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.