Делят на первую цифру: наибольшая целая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Четыре последовательных числа, делённые на цифру. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S — сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли S быть равной 425 14?
б) Может ли S быть равной 469 629?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 300 и не больше 899?
а) Может ли S быть равной 425 14?
б) Может ли S быть равной 469 629?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 300 и не больше 899?
Показать ответ
а) да, например для чисел 849, 850, 851, 852: сумма равна 425 1/4
б) нет: каждое слагаемое имеет знаменателем первую цифру, то есть одно из чисел 1…9, поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 29 его не делит
в) 530; достигается на числах 396, 397, 398, 399; больше нельзя — внутри одной сотни S = (4n + 6)/a растёт с n и убывает с ростом первой цифры a, а переход через границу сотни только уменьшает сумму
Решение
Если все четыре числа начинаются с одной цифры a, то S = (n + (n+1) + (n+2) + (n+3))/a = (4n + 6)/a. При переходе через границу сотни часть чисел делится на бо́льшую первую цифру, поэтому сумма только уменьшается.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [300; 899] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 530 при n = 396 (первая цифра 3).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [300; 899] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 530 при n = 396 (первая цифра 3).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Пример 2
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S — сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли S быть равной 418 14?
б) Может ли S быть равной 360 111?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 500 и не больше 899?
а) Может ли S быть равной 418 14?
б) Может ли S быть равной 360 111?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 500 и не больше 899?
Показать ответ
а) да, например для чисел 835, 836, 837, 838: сумма равна 418 1/4
б) нет: каждое слагаемое имеет знаменателем первую цифру, то есть одно из чисел 1…9, поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 11 его не делит
в) 478; достигается на числах 596, 597, 598, 599; больше нельзя — внутри одной сотни S = (4n + 6)/a растёт с n и убывает с ростом первой цифры a, а переход через границу сотни только уменьшает сумму
Решение
Если все четыре числа начинаются с одной цифры a, то S = (n + (n+1) + (n+2) + (n+3))/a = (4n + 6)/a. При переходе через границу сотни часть чисел делится на бо́льшую первую цифру, поэтому сумма только уменьшается.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [500; 899] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 478 при n = 596 (первая цифра 5).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [500; 899] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 478 при n = 596 (первая цифра 5).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Пример 3
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S — сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли S быть равной 422 12?
б) Может ли S быть равной 180 113?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 200 и не больше 899?
а) Может ли S быть равной 422 12?
б) Может ли S быть равной 180 113?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 200 и не больше 899?
Показать ответ
а) да, например для чисел 421, 422, 423, 424: сумма равна 422 1/2
б) нет: каждое слагаемое имеет знаменателем первую цифру, то есть одно из чисел 1…9, поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 13 его не делит
в) 595; достигается на числах 296, 297, 298, 299; больше нельзя — внутри одной сотни S = (4n + 6)/a растёт с n и убывает с ростом первой цифры a, а переход через границу сотни только уменьшает сумму
Решение
Если все четыре числа начинаются с одной цифры a, то S = (n + (n+1) + (n+2) + (n+3))/a = (4n + 6)/a. При переходе через границу сотни часть чисел делится на бо́льшую первую цифру, поэтому сумма только уменьшается.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [200; 899] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 595 при n = 296 (первая цифра 2).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [200; 899] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 595 при n = 296 (первая цифра 2).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Пример 4
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S — сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли S быть равной 427 57?
б) Может ли S быть равной 489 132?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 500 и не больше 799?
а) Может ли S быть равной 427 57?
б) Может ли S быть равной 489 132?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 500 и не больше 799?
Показать ответ
а) да, например для чисел 747, 748, 749, 750: сумма равна 427 5/7
б) нет: каждое слагаемое имеет знаменателем первую цифру, то есть одно из чисел 1…9, поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 32 его не делит
в) 478; достигается на числах 596, 597, 598, 599; больше нельзя — внутри одной сотни S = (4n + 6)/a растёт с n и убывает с ростом первой цифры a, а переход через границу сотни только уменьшает сумму
Решение
Если все четыре числа начинаются с одной цифры a, то S = (n + (n+1) + (n+2) + (n+3))/a = (4n + 6)/a. При переходе через границу сотни часть чисел делится на бо́льшую первую цифру, поэтому сумма только уменьшается.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [500; 799] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 478 при n = 596 (первая цифра 5).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [500; 799] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 478 при n = 596 (первая цифра 5).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Пример 5
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел разделили на свою первую цифру. Пусть S — сумма четырёх получившихся чисел.
а) Может ли S быть равной 408 29?
б) Может ли S быть равной 141 629?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?
а) Может ли S быть равной 408 29?
б) Может ли S быть равной 141 629?
в) Какое наибольшее целое значение может принимать S, если известно, что 4 исходных числа не меньше 400 и не больше 999?
Показать ответ
а) да, например для чисел 917, 918, 919, 920: сумма равна 408 2/9
б) нет: каждое слагаемое имеет знаменателем первую цифру, то есть одно из чисел 1…9, поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК(1, 2, …, 9) = 2520; число 29 его не делит
в) 478; достигается на числах 596, 597, 598, 599; больше нельзя — внутри одной сотни S = (4n + 6)/a растёт с n и убывает с ростом первой цифры a, а переход через границу сотни только уменьшает сумму
Решение
Если все четыре числа начинаются с одной цифры a, то S = (n + (n+1) + (n+2) + (n+3))/a = (4n + 6)/a. При переходе через границу сотни часть чисел делится на бо́льшую первую цифру, поэтому сумма только уменьшается.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [400; 999] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 478 при n = 596 (первая цифра 5).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Внутри сотни S растёт вместе с n, а целость S равносильна делимости 4n + 6 на a. Перебирая первые цифры на отрезке [400; 999] и беря наибольшее подходящее n для каждой, получаем максимум S = 478 при n = 596 (первая цифра 5).
Знаменатель S всегда делит НОК(1, …, 9) = 2520 — это сразу отсекает «неправильные» дроби.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.