Делят на последнюю цифру: наибольшая целая сумма — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Четыре последовательных числа, делённые на цифру. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли S быть равной 849 12?
б) Может ли S быть равной 192 1131?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
а) Может ли S быть равной 849 12?
б) Может ли S быть равной 192 1131?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Показать ответ
а) да, например для чисел 893, 894, 895, 896: сумма равна 849 1/2
б) нет: если первое число равно 10m + d, то S = 4 + 10m·(1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3)), поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК четырёх подряд идущих цифр — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; число 31 не делит ни одно из них
в) 2004; достигается на числах 961, 962, 963, 964; больше нельзя — S = 4 + 10m·H растёт с m, целость требует, чтобы m делилось на 6, а наибольшее такое m для трёхзначных чисел равно 96
Решение
Пусть первое число равно n = 10m + d, где d — его последняя цифра (d ≠ 0, и d + 3 ≤ 9, иначе одно из чисел оканчивается нулём, поэтому d ≤ 6).
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Пример 2
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли S быть равной 761 16?
б) Может ли S быть равной 121 411?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
а) Может ли S быть равной 761 16?
б) Может ли S быть равной 121 411?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Показать ответ
а) да, например для чисел 592, 593, 594, 595: сумма равна 761 1/6
б) нет: если первое число равно 10m + d, то S = 4 + 10m·(1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3)), поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК четырёх подряд идущих цифр — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; число 11 не делит ни одно из них
в) 2004; достигается на числах 961, 962, 963, 964; больше нельзя — S = 4 + 10m·H растёт с m, целость требует, чтобы m делилось на 6, а наибольшее такое m для трёхзначных чисел равно 96
Решение
Пусть первое число равно n = 10m + d, где d — его последняя цифра (d ≠ 0, и d + 3 ≤ 9, иначе одно из чисел оканчивается нулём, поэтому d ≤ 6).
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Пример 3
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли S быть равной 91 1963?
б) Может ли S быть равной 316 1629?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
а) Может ли S быть равной 91 1963?
б) Может ли S быть равной 316 1629?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Показать ответ
а) да, например для чисел 166, 167, 168, 169: сумма равна 91 19/63
б) нет: если первое число равно 10m + d, то S = 4 + 10m·(1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3)), поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК четырёх подряд идущих цифр — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; число 29 не делит ни одно из них
в) 2004; достигается на числах 961, 962, 963, 964; больше нельзя — S = 4 + 10m·H растёт с m, целость требует, чтобы m делилось на 6, а наибольшее такое m для трёхзначных чисел равно 96
Решение
Пусть первое число равно n = 10m + d, где d — его последняя цифра (d ≠ 0, и d + 3 ≤ 9, иначе одно из чисел оканчивается нулём, поэтому d ≤ 6).
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Пример 4
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли S быть равной 156 79?
б) Может ли S быть равной 43 2332?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
а) Может ли S быть равной 156 79?
б) Может ли S быть равной 43 2332?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Показать ответ
а) да, например для чисел 286, 287, 288, 289: сумма равна 156 7/9
б) нет: если первое число равно 10m + d, то S = 4 + 10m·(1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3)), поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК четырёх подряд идущих цифр — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; число 32 не делит ни одно из них
в) 2004; достигается на числах 961, 962, 963, 964; больше нельзя — S = 4 + 10m·H растёт с m, целость требует, чтобы m делилось на 6, а наибольшее такое m для трёхзначных чисел равно 96
Решение
Пусть первое число равно n = 10m + d, где d — его последняя цифра (d ≠ 0, и d + 3 ≤ 9, иначе одно из чисел оканчивается нулём, поэтому d ≤ 6).
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Пример 5
Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна S.
а) Может ли S быть равной 679 4142?
б) Может ли S быть равной 295 1429?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
а) Может ли S быть равной 679 4142?
б) Может ли S быть равной 295 1429?
в) Найдите наибольшее целое значение S, если каждое из исходных чисел было трёхзначным.
Показать ответ
а) да, например для чисел 894, 895, 896, 897: сумма равна 679 41/42
б) нет: если первое число равно 10m + d, то S = 4 + 10m·(1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3)), поэтому знаменатель несократимой дроби S делит НОК четырёх подряд идущих цифр — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; число 29 не делит ни одно из них
в) 2004; достигается на числах 961, 962, 963, 964; больше нельзя — S = 4 + 10m·H растёт с m, целость требует, чтобы m делилось на 6, а наибольшее такое m для трёхзначных чисел равно 96
Решение
Пусть первое число равно n = 10m + d, где d — его последняя цифра (d ≠ 0, и d + 3 ≤ 9, иначе одно из чисел оканчивается нулём, поэтому d ≤ 6).
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Тогда (n + i) : (d + i) = (10m + d + i) : (d + i) = 10m/(d + i) + 1, и S = 4 + 10m·H, где H = 1/d + 1/(d+1) + 1/(d+2) + 1/(d+3).
Отсюда сразу два следствия: знаменатель S делит НОК(d, d+1, d+2, d+3) — одно из чисел 12, 60, 420, 504 и 840; и S строго растёт с m.
Для трёхзначных чисел m ≤ 101, а из целости S следует, что m кратно 6. Наибольшее подходящее m равно 96, что даёт S = 2004 на числах 961—964.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.