Делятся на p и оканчиваются на c: наибольшее количество при сумме — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Доска: набор чисел с ограничением на сумму. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 11 и оканчиваются на 2.
а) Может ли их сумма составлять 1078?
б) Может ли их сумма составлять 88?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1056?
а) Может ли их сумма составлять 1078?
б) Может ли их сумма составлять 88?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1056?
Показать ответ
а) да, например 22, 132, 242 и 682
б) нет: каждое такое число сравнимо с 22 по модулю 110, поэтому подходит только 4 слагаемых (или 9, 14, …), а сумма 4 наименьших таких чисел равна уже 748 > 88
в) 3; пример: 22, 132 и 902; больше нельзя — следующее допустимое количество 8 даёт сумму не меньше 3256 > 1056, а количество чисел определено остатком суммы по модулю 110
Решение
Числа, делящиеся на 11 и оканчивающиеся на 2, — это в точности числа вида 22 + 110·t, t ≥ 0.
Сумма k таких чисел сравнима с k·22 по модулю 110, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·22 + 110·k(k−1)/2.
Для суммы 1056: минимальная сумма 3 чисел равна 396 ≤ 1056, а разность 1056 − 396 = 660 кратна 110 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 8 даёт уже 3256 > 1056. Ответ: 3.
Сумма k таких чисел сравнима с k·22 по модулю 110, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·22 + 110·k(k−1)/2.
Для суммы 1056: минимальная сумма 3 чисел равна 396 ≤ 1056, а разность 1056 − 396 = 660 кратна 110 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 8 даёт уже 3256 > 1056. Ответ: 3.
Пример 2
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 7 и оканчиваются на 4.
а) Может ли их сумма составлять 546?
б) Может ли их сумма составлять 406?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1190?
а) Может ли их сумма составлять 546?
б) Может ли их сумма составлять 406?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1190?
Показать ответ
а) да, например 14, 84, 154 и 294
б) нет: каждое такое число сравнимо с 14 по модулю 70, поэтому подходит только 4 слагаемых (или 9, 14, …), а сумма 4 наименьших таких чисел равна уже 476 > 406
в) 5; пример: 14, 84, 154, 224 и 714; больше нельзя — следующее допустимое количество 10 даёт сумму не меньше 3290 > 1190, а количество чисел определено остатком суммы по модулю 70
Решение
Числа, делящиеся на 7 и оканчивающиеся на 4, — это в точности числа вида 14 + 70·t, t ≥ 0.
Сумма k таких чисел сравнима с k·14 по модулю 70, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·14 + 70·k(k−1)/2.
Для суммы 1190: минимальная сумма 5 чисел равна 770 ≤ 1190, а разность 1190 − 770 = 420 кратна 70 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 10 даёт уже 3290 > 1190. Ответ: 5.
Сумма k таких чисел сравнима с k·14 по модулю 70, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·14 + 70·k(k−1)/2.
Для суммы 1190: минимальная сумма 5 чисел равна 770 ≤ 1190, а разность 1190 − 770 = 420 кратна 70 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 10 даёт уже 3290 > 1190. Ответ: 5.
Пример 3
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 7 и оканчиваются на 7.
а) Может ли их сумма составлять 84?
б) Может ли их сумма составлять 665?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 658?
а) Может ли их сумма составлять 84?
б) Может ли их сумма составлять 665?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 658?
Показать ответ
а) да, например 7 и 77
б) нет: каждое такое число сравнимо с 7 по модулю 70, поэтому подходит только 5 слагаемых (или 15, 25, …), а сумма 5 наименьших таких чисел равна уже 735 > 665
в) 4; пример: 7, 77, 147 и 427; больше нельзя — следующее допустимое количество 14 даёт сумму не меньше 6468 > 658, а количество чисел определено остатком суммы по модулю 70
Решение
Числа, делящиеся на 7 и оканчивающиеся на 7, — это в точности числа вида 7 + 70·t, t ≥ 0.
Сумма k таких чисел сравнима с k·7 по модулю 70, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·7 + 70·k(k−1)/2.
Для суммы 658: минимальная сумма 4 чисел равна 448 ≤ 658, а разность 658 − 448 = 210 кратна 70 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 9 даёт уже 2583 > 658. Ответ: 4.
Сумма k таких чисел сравнима с k·7 по модулю 70, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·7 + 70·k(k−1)/2.
Для суммы 658: минимальная сумма 4 чисел равна 448 ≤ 658, а разность 658 − 448 = 210 кратна 70 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 9 даёт уже 2583 > 658. Ответ: 4.
Пример 4
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 9 и оканчиваются на 6.
а) Может ли их сумма составлять 468?
б) Может ли их сумма составлять 288?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1260?
а) Может ли их сумма составлять 468?
б) Может ли их сумма составлять 288?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 1260?
Показать ответ
а) да, например 36, 126 и 306
б) нет: каждое такое число сравнимо с 36 по модулю 90, поэтому подходит только 3 слагаемых (или 8, 13, …), а сумма 3 наименьших таких чисел равна уже 378 > 288
в) 5; пример: 36, 126, 216, 306 и 576; больше нельзя — следующее допустимое количество 10 даёт сумму не меньше 4410 > 1260, а количество чисел определено остатком суммы по модулю 90
Решение
Числа, делящиеся на 9 и оканчивающиеся на 6, — это в точности числа вида 36 + 90·t, t ≥ 0.
Сумма k таких чисел сравнима с k·36 по модулю 90, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·36 + 90·k(k−1)/2.
Для суммы 1260: минимальная сумма 5 чисел равна 1080 ≤ 1260, а разность 1260 − 1080 = 180 кратна 90 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 10 даёт уже 4410 > 1260. Ответ: 5.
Сумма k таких чисел сравнима с k·36 по модулю 90, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·36 + 90·k(k−1)/2.
Для суммы 1260: минимальная сумма 5 чисел равна 1080 ≤ 1260, а разность 1260 − 1080 = 180 кратна 90 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 10 даёт уже 4410 > 1260. Ответ: 5.
Пример 5
На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на 3 и оканчиваются на 6.
а) Может ли их сумма составлять 294?
б) Может ли их сумма составлять 60?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 912?
а) Может ли их сумма составлять 294?
б) Может ли их сумма составлять 60?
в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна 912?
Показать ответ
а) да, например 6, 36, 66 и 186
б) нет: каждое такое число сравнимо с 6 по модулю 30, поэтому подходит только 5 слагаемых (или 10, 15, …), а сумма 5 наименьших таких чисел равна уже 330 > 60
в) 7; пример: 6, 36, 66, 96, 126, 156 и 426; больше нельзя — следующее допустимое количество 12 даёт сумму не меньше 2052 > 912, а количество чисел определено остатком суммы по модулю 30
Решение
Числа, делящиеся на 3 и оканчивающиеся на 6, — это в точности числа вида 6 + 30·t, t ≥ 0.
Сумма k таких чисел сравнима с k·6 по модулю 30, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·6 + 30·k(k−1)/2.
Для суммы 912: минимальная сумма 7 чисел равна 672 ≤ 912, а разность 912 − 672 = 240 кратна 30 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 12 даёт уже 2052 > 912. Ответ: 7.
Сумма k таких чисел сравнима с k·6 по модулю 30, поэтому количество слагаемых определено остатком суммы; наименьшая сумма k чисел равна k·6 + 30·k(k−1)/2.
Для суммы 912: минимальная сумма 7 чисел равна 672 ≤ 912, а разность 912 − 672 = 240 кратна 30 — добавляем её к наибольшему числу. Следующее допустимое количество 12 даёт уже 2052 > 912. Ответ: 7.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.