Дети по кругу отдают четверть конфет — задание 20 ЕГЭ по профильной математике
Игры и операции с инвариантом. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть всех своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.
а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 400 конфет?
а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 400 конфет?
Показать ответ
а) да, например по кругу стоят мальчики с 4 конфетами и девочки с 16 и 12 конфетами: после раздачи у мальчиков 6 и 4, а у обеих девочек по 13
б) нет: если у двух девочек слева стоят мальчики, то из 3d + M = 4C эти девочки имели поровну конфет, что запрещено, — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Точно так же мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один, иначе после раздачи у двух мальчиков стало бы поровну. По кругу переходов «мальчик → девочка» столько же, сколько «девочка → мальчик», поэтому мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух
в) да, например 124, 124, 16, 52, 40, 44 (первые двое — мальчики): после раздачи у мальчиков 104 и 124, а у всех девочек по 43; всего конфет 400
Решение
После команды у ребёнка становится (3/4)x + (1/4)y, где y — конфеты левого соседа.
Если слева от девочки стоит мальчик, то 3d + M = 4C, и такое d определено однозначно — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Аналогично мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один (иначе после раздачи у двух мальчиков поровну). Так как по кругу переходов «мальчик → девочка» и «девочка → мальчик» поровну, мальчиков ровно два, и стоят они рядом.
а) Пример: 4, 4, 16, 12 (первые двое — мальчики).
б) Мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух, поэтому мальчиков больше быть не может.
в) При двух мальчиках и четырёх девочках количества восстанавливаются из уравнений 3dᵢ + dᵢ₋1 = 4C; подходит набор 124, 124, 16, 52, 40, 44 с суммой 400.
Ответ: да; нет; да.
Если слева от девочки стоит мальчик, то 3d + M = 4C, и такое d определено однозначно — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Аналогично мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один (иначе после раздачи у двух мальчиков поровну). Так как по кругу переходов «мальчик → девочка» и «девочка → мальчик» поровну, мальчиков ровно два, и стоят они рядом.
а) Пример: 4, 4, 16, 12 (первые двое — мальчики).
б) Мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух, поэтому мальчиков больше быть не может.
в) При двух мальчиках и четырёх девочках количества восстанавливаются из уравнений 3dᵢ + dᵢ₋1 = 4C; подходит набор 124, 124, 16, 52, 40, 44 с суммой 400.
Ответ: да; нет; да.
Пример 2
По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть всех своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.
а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 440 конфет?
а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 440 конфет?
Показать ответ
а) да, например по кругу стоят мальчики с 4 конфетами и девочки с 16 и 12 конфетами: после раздачи у мальчиков 6 и 4, а у обеих девочек по 13
б) нет: если у двух девочек слева стоят мальчики, то из 3d + M = 4C эти девочки имели поровну конфет, что запрещено, — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Точно так же мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один, иначе после раздачи у двух мальчиков стало бы поровну. По кругу переходов «мальчик → девочка» столько же, сколько «девочка → мальчик», поэтому мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух
в) да, например 16, 16, 124, 88, 100, 96 (первые двое — мальчики): после раздачи у мальчиков 36 и 16, а у всех девочек по 97; всего конфет 440
Решение
После команды у ребёнка становится (3/4)x + (1/4)y, где y — конфеты левого соседа.
Если слева от девочки стоит мальчик, то 3d + M = 4C, и такое d определено однозначно — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Аналогично мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один (иначе после раздачи у двух мальчиков поровну). Так как по кругу переходов «мальчик → девочка» и «девочка → мальчик» поровну, мальчиков ровно два, и стоят они рядом.
а) Пример: 4, 4, 16, 12 (первые двое — мальчики).
б) Мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух, поэтому мальчиков больше быть не может.
в) При двух мальчиках и четырёх девочках количества восстанавливаются из уравнений 3dᵢ + dᵢ₋1 = 4C; подходит набор 16, 16, 124, 88, 100, 96 с суммой 440.
Ответ: да; нет; да.
Если слева от девочки стоит мальчик, то 3d + M = 4C, и такое d определено однозначно — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Аналогично мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один (иначе после раздачи у двух мальчиков поровну). Так как по кругу переходов «мальчик → девочка» и «девочка → мальчик» поровну, мальчиков ровно два, и стоят они рядом.
а) Пример: 4, 4, 16, 12 (первые двое — мальчики).
б) Мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух, поэтому мальчиков больше быть не может.
в) При двух мальчиках и четырёх девочках количества восстанавливаются из уравнений 3dᵢ + dᵢ₋1 = 4C; подходит набор 16, 16, 124, 88, 100, 96 с суммой 440.
Ответ: да; нет; да.
Пример 3
По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое количество конфет, а у любых двух девочек — разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть всех своих конфет. После этого у любых двух мальчиков стало разное количество конфет, а у любых двух девочек — одинаковое. Известно, что каждый отдал натуральное число конфет.
а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?
а) Могло ли мальчиков быть столько же, сколько и девочек?
б) Могло ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?
Показать ответ
а) да, например по кругу стоят мальчики с 4 конфетами и девочки с 16 и 12 конфетами: после раздачи у мальчиков 6 и 4, а у обеих девочек по 13
б) нет: если у двух девочек слева стоят мальчики, то из 3d + M = 4C эти девочки имели поровну конфет, что запрещено, — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Точно так же мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один, иначе после раздачи у двух мальчиков стало бы поровну. По кругу переходов «мальчик → девочка» столько же, сколько «девочка → мальчик», поэтому мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух
в) да, например 112, 112, 4, 40, 28, 32 (первые двое — мальчики): после раздачи у мальчиков 92 и 112, а у всех девочек по 31; всего конфет 328
Решение
После команды у ребёнка становится (3/4)x + (1/4)y, где y — конфеты левого соседа.
Если слева от девочки стоит мальчик, то 3d + M = 4C, и такое d определено однозначно — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Аналогично мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один (иначе после раздачи у двух мальчиков поровну). Так как по кругу переходов «мальчик → девочка» и «девочка → мальчик» поровну, мальчиков ровно два, и стоят они рядом.
а) Пример: 4, 4, 16, 12 (первые двое — мальчики).
б) Мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух, поэтому мальчиков больше быть не может.
в) При двух мальчиках и четырёх девочках количества восстанавливаются из уравнений 3dᵢ + dᵢ₋1 = 4C; подходит набор 112, 112, 4, 40, 28, 32 с суммой 328.
Ответ: да; нет; да.
Если слева от девочки стоит мальчик, то 3d + M = 4C, и такое d определено однозначно — значит девочка, стоящая сразу за мальчиком, ровно одна. Аналогично мальчик, стоящий сразу за мальчиком, ровно один (иначе после раздачи у двух мальчиков поровну). Так как по кругу переходов «мальчик → девочка» и «девочка → мальчик» поровну, мальчиков ровно два, и стоят они рядом.
а) Пример: 4, 4, 16, 12 (первые двое — мальчики).
б) Мальчиков не больше двух, а девочек не меньше двух, поэтому мальчиков больше быть не может.
в) При двух мальчиках и четырёх девочках количества восстанавливаются из уравнений 3dᵢ + dᵢ₋1 = 4C; подходит набор 112, 112, 4, 40, 28, 32 с суммой 328.
Ответ: да; нет; да.
Другие темы задания №20
1Каждый следующий в 10 раз больше или меньше: наибольшее число членов2Сумма соседей — одна из трёх: наименьшее число членов3Вдвое меньше либо больше на D: наименьший максимум4Средние без k-го члена: наибольшее M₃5Возрастающая с шагом ≤ 10: наибольшее среднее всех членов6Член больше среднего соседей: наименьшая сумма при n членах7Концы нулевые: наименьший второй член8Числа 1–4 и степенные суммы S₁…S₄9Целые числа: средние всех / положительных / отрицательных10Средние арифметические набора11Средние арифметические набора12Деление на три группы: наименьшее из наибольших средних
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.